洛谷4726 多项式指数函数 学习笔记

题目链接

题意：
给出$n-1$次多项式$A(x)$，求一个$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n$下的多项式$B(x)$，满足$B(x)\equiv e^{A(x)}$，系数对$999244353$取模。 $n<=100000$

题解：
一个前置知识特别多的题，要用到多项式对数函数、多项式求逆、NTT、多项式牛顿迭代、泰勒展开。
设$f(x)=e^{A(x)}(mod{x}^n)$，那么两边同时取对数得$\ln f(x)=A(x)$。我们设$g(x)=\ln f(x)-A(x)=0$，$n=1$时，答案可以直接求出。我们假设已经求出了$f_0(x)=e^{A(x)}(mod{x}^{\lceil \frac{n}{2}\rceil })$，那么考虑如何扩展到$f(x)=e^{A(x)}(mod{x}^n)$。我们把$g(f(x))$在$f_0(x)$处泰勒展开，得$$g(f(x))=g(f_0(x))+\frac{g^{\prime }(f_0(x))}{1!}(f(x)-f_0(x))+\frac{g^{\prime \prime }(f_0(x))}{2!}(f(x)-f_0(x){)}^2+...$$因为$\ln f(x)$在模$x^n$意义下与$A(x)$相同，$x^n$是$x^{\lceil \frac{n}{2}\rceil }$的倍数，所以在模$x^{\lceil \frac{n}{2}\rceil }$意义下也与$A(x)$相同，所以在模$x^{\lceil \frac{n}{2}\rceil }$意义下$\ln f(x)$和$\ln f_0(x)$相等，进一步可以推出在模$x^{\lceil \frac{n}{2}\rceil }$意义下$f(x)$与$f_0(x)$相等，都是$0$。于是就有$(f(x)-f_0(x){)}^2=0(mod{x}^n)$，原因是原来前$\lceil \frac{n}{2}\rceil$次项在模$x^{\lceil \frac{n}{2}\rceil }$意义下是$0$，所以平方后前$n$次项的系数都是$0$，由此可得$(f(x)-f_0(x){)}^m$中所有次数$m$大于等于2的项在模$x^n$意义下都是$0$了，于是我们只需要保留前两项即可，也就是$g(f(x))\equiv g(f_0(x))+g^{\prime }(f_0(x))(f(x)-f_0(x))(mod{x}^n)$。化简一下就是$f(x)=f_0(x)-\frac{g(f_0(x))}{g^{\prime }(f_0(x))}(mod{x}^n)$ 再利用一下复合函数的求导公式可得：$f(x)=f_0(x)(1-\ln f_0(x)+A(x))(mod{x}^n)$

这个东西要用多项式牛顿迭代。具体实现的话就是用一种倍增的方法，复杂度证明和多项式求逆差不多。式子中的$\ln$用多项式对数函数就好，推导就到这里了。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n,m,l,rev[800010];
long long a[800010],b[800010],xx[800010],yy[800010],zz[800010],c[800010],d[800010];
const long long mod=998244353,g=3,gi=332748118;
inline int read()
{
	int x=0;
	char s=getchar();
	while(s>'9'||s<'0')
	s=getchar();
	while(s>='0'&&s<='9')
	{
		x=x*10+s-'0';
		s=getchar();
	}
	return x;
}
inline long long ksm(long long x,long long y)
{
	long long res=1;
	while(y)
	{
		if(y&1)
		res=res*x%mod;
		x=x*x%mod;
		y>>=1;
	}
	return res;
}
inline void ntt(long long *a,int dft,int len)
{
	l=0;
	m=len;
	for(len=1;len<m;len<<=1)
	++l;
	for(int i=0;i<len;++i)
	rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
	for(int i=0;i<len;++i)
	{
		if(i<rev[i])
		swap(a[i],a[rev[i]]);
	}
	for(int i=1;i<len;i<<=1)
	{
		long long wn=ksm((dft==1?g:gi),(mod-1)/(i<<1));
		for(int j=0,p=(i<<1);j<len;j+=p)
		{
			long long w=1;
			for(int k=0;k<i;++k)
			{
				long long x=a[j+k],y=w*a[i+j+k]%mod;
				a[j+k]=(x+y)%mod;
				a[i+j+k]=(x-y+mod)%mod;
				w=w*wn%mod;
			}
		}
	}
	if(dft==-1)
	{
		long long ni=ksm(m,mod-2);
		for(int i=0;i<len;++i)
		a[i]=a[i]*ni%mod;
	}
}
inline void inv(long long *a,long long *b,int len)
{
	if(len==1)
	{
		b[0]=ksm(a[0],mod-2);
		return;
	}
	inv(a,b,len>>1);
	for(int i=0;i<len;++i)
	{
		xx[i]=a[i];
		yy[i]=b[i];
	}
	ntt(xx,1,len<<1);
	ntt(yy,1,len<<1);
	for(int i=0;i<(len<<1);++i)
	xx[i]=xx[i]*yy[i]%mod*yy[i]%mod;
	ntt(xx,-1,len<<1);
	for(int i=0;i<len;++i)
	b[i]=(b[i]*2-xx[i]+mod)%mod;
	for(int i=0;i<(len<<1);++i)
	{
		xx[i]=0;
		yy[i]=0;
	}
}
inline void ln(long long *a,long long *b,int len)
{
	for(int i=1;i<len;++i)
	d[i-1]=a[i]*i%mod;
	inv(a,zz,len);
	ntt(d,1,len<<1);
	ntt(zz,1,len<<1);
	for(int i=0;i<(len<<1);++i)
	d[i]=d[i]*zz[i];
	ntt(d,-1,len<<1);
	for(int i=1;i<len;++i)
	b[i]=d[i-1]*ksm(i,mod-2)%mod;
	b[0]=0;
	for(int i=0;i<(len<<1);++i)
	{
		d[i]=0;
		zz[i]=0;
	}
}
/*inline void exp(long long *a,long long *b,int len)
{
	if(len==1)
	{
		b[0]=1;
		return;
	}
	exp(a,b,len>>1);
	ln(b,yy,len);
	for(int i=0;i<n;++i)
	xx[i]=a[i];
	ntt(xx,1,len<<1);
	ntt(yy,1,len<<1);
	ntt(b,1,len<<1);
	for(int i=0;i<(len<<1);++i)
	b[i]=b[i]*(1-yy[i]+xx[i]+mod)%mod;
	ntt(b,-1,len<<1);
	for(int i=n;i<(len<<1);++i)
	b[i]=0;
	for(int i=0;i<(len<<1);++i)
	{
		xx[i]=0;
		yy[i]=0;
	}
}*/
inline void exp(long long *a,long long *b,int len)
{
	if(len==1)
	{
		b[0]=1;
		return;
	}
	exp(a,b,len>>1);
	ln(b,yy,len);
	for(int i=0;i<len;++i)
	xx[i]=a[i];
	xx[0]++;
	for(int i=0;i<len;++i)
	yy[i]=(xx[i]-yy[i]+mod)%mod;
	ntt(yy,1,len<<1);
	ntt(b,1,len<<1);
	for(int i=0;i<(len<<1);++i)
	b[i]=b[i]*yy[i]%mod;
	ntt(b,-1,len<<1);
	for(int i=n;i<(len<<1);++i)
	b[i]=0;
	for(int i=0;i<(len<<1);++i)
	{
		xx[i]=0;
		yy[i]=0;
	}
} 
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=0;i<=n-1;++i)
	a[i]=read();
	int ji;
	for(ji=1;ji<=n;ji<<=1);
	exp(a,c,ji);
	for(int i=0;i<n;++i)
	printf("%lld ",c[i]);
	printf("\n"); 
	return 0;
}