基于MATLAB的曲面积分

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已于 2022-05-05 02:12:11 修改

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分类专栏： MATLAB 文章标签： matlab 线性代数学习

于 2022-03-31 16:14:59 首次发布

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本文介绍了曲面积分的两种类型，并通过MATLAB进行数值计算。首先讲解了第一类曲面积分，即对面积的曲面积分，然后通过例题展示了如何使用MATLAB求解。接着，阐述了第二类曲面积分，即对坐标的曲面积分，并同样用MATLAB进行求解。文章提供了详细的MATLAB代码和解题步骤，适合学习曲面积分和MATLAB编程的读者。

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前言

此篇将介绍两种曲面积分：对面积的曲面积分和对坐标的曲面积分。同时借助例题，利用MATLAB进行代码仿真。

一. 第一类曲面积分

曲面积分的数学形式表示为：

$I=\int\int_S\phi(x,y,z)dS$

其中dS为积分区域的面积，故又称为对面积的曲面积分。如果曲面S由z=f(x,y)给出，则该曲面积分可以转换为x-y平面的二重积分如下：

$I=\int\int_{\sigma_{xy}}\phi[x,y,f(x,y)]\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}dxdy$

其中 $\sigma_{xy}$ 为积分区域。

备注：关于二重积分详细教程前面已发，可以查看文末的链接。

例题1

求解 $\int\int_SxyzdS$ ，S为x=0,y=0,z=0和x+y+z=a围成的，a>0。

解：

一共有四个平面，又因为x=0,y=0,z=0，所以三个被积函数的值为0，只需要计算一个平面即可。

MATLAB代码：

clc;clear;
syms x y;
syms a positive; %限定a为一个正数
z=a-x-y;
I=int(int(x*y*z*sqrt(1+diff(z,x)^2+diff(z,y)^2),y,0,a-x),x,0,a)
%注意y和x的积分范围

运行结果：I =(3^(1/2)*a^5)/120

数学形式： $\frac{1}{120}\sqrt3a^5$

如果曲面是由参数方程确定，如下形式：

$x=x(u,v),y=(u,v),z=z(u,v)$

在此情况下曲面积分可由如下公式计算：

$I=\int\int_\sum\phi[x(u,v),y(u,v),z(u,v)]\sqrt{EG-F^2}dudv$

式子中 $E=x_u^2+y_u^2+z_u^2,F=x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v,G=x_v^2+y_v^2+z_v^2$

备注：此处的 $x_u$ 代表x对u的偏微分，其他的类似。

例题2

求解 $\int\int(x^2y+zy^2)dS$ ，其中S为螺旋曲面， $x=ucosv,y=usinv,z=v$ ，且 $0\leq u\leq a, 0\leq v\leq 2\pi$ 。

解：

MATLAB代码：

clc;clear;
syms u v;
syms a positive;
x=u*cos(v);
y=u*sin(v);
z=v;
f=x^2*y+z*y^2;
E=simplify(diff(x,u)^2+diff(y,u)^2+diff(z,u)^2);
%simplify函数会对运算的结果化简
F=diff(x,u)*diff(x,v)+diff(y,u)*diff(y,v)+diff(z,u)*diff(z,v);
G=simplify(diff(x,v)^2+diff(y,v)^2+diff(z,v)^2);
I=int(int(f*sqrt(E*G-F^2),u,0,a),v,0,2*pi)

运行结果：

I =(pi^2*(a*(a^2 + 1)^(1/2) - asinh(a) + 2*a^3*(a^2 + 1)^(1/2)))/8

二. 第二类曲面积分

第二类曲线积分又称为对坐标的曲面积分，数学表达式如下：

$I=\int\int_{S^+}P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dxdz+R(x,y,z)dxdy$

其中 $S^+$ 代表正向曲面，如果由z=f(x,y)给出，则可以化归为第一类曲面积分，如下：

$I=\int\int_{S^+}[P(x,y,z)cos\alpha+Q(x,y,z)cos\beta+R(x,y,z)cos\gamma]dS$

z由f(x,y)代替，可得：

$cos\alpha=\frac{-f_x}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}$

$cos\beta=\frac{-f_y}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}$

$cos\gamma=\frac{1}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}$

由此可得积分I：

$I=\int\int_{\sigma_{xy}}-Pf_xdxdy-Qf_ydxdz+Rdydz$

。

现在我们考虑曲面由参数方程给出的情况：

$x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)$

则 $cos\alpha=\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},cos\beta=\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},cos\gamma=\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},$

上式中的A，B，C是关于对u,v的偏导，具体表达式如下：

$A=y_uz_v-z_uy_v,B=z_ux_v-x_uz_v,C=x_uy_v-y_ux_v$

由此可得积分为：

$I=\int\int_{S^+}[AP(u,v)+BQ(u,v)+CR(u,v)]dudv$

例题3

计算积分 $\int\int x^3dydz$ ，其中S是椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 的上半部分，且积分沿椭球面的上面。

解：

为方便积分运算，会把x,y,z表示为关于u,v的参数方程（见MATLAB代码）。

clc;clear;
syms u v;
syms a b c positive;
x=a*sin(u)*cos(v);y=b*sin(u)*sin(v);z=c*cos(u);%椭球面的参数方程形式
A=diff(y,u)*diff(z,v)-diff(z,u)*diff(y,v);
I=int(int(x^3*A,u,0,pi/2),v,0,2*pi) %u,v的取值范围限定为半个球

运行结果：I =(2*pi*a^3*b*c)/5

数学形式： $I=\frac{2\pi a^3bc}{5}$