数理逻辑与集合论

数理逻辑

命题逻辑的基本概念

命题

1.命题：能表达判断，具有确定真值的陈述句
注：哥德巴赫猜想真值存在且唯一，尽管现在不能确定真值，但是将来可以，也是命题
2.命题变项：表示命题的命题标识符（大写字母）
3.简单命题（原子命题）：无法分解的简单陈述句
4.复合命题（分子命题）
5.悖论：非命题，悖论是自指谓语句，若承认$A$，则推出$\neg A$

命题联结词及真值表

1.命题联结词：否定($\neg$)，合取($\wedge$)，析取($\vee$)，异或($\nabla$)，与非($\uparrow$)，或非($\downarrow$)，蕴含词($\to$)，双蕴含词($\leftrightarrow$)
2.$P\to Q$：$P$ 蕴含式前件 $Q$ 蕴含式后件
3.命题的解释：给命题中出现的全部命题变项赋值
4.真值表：

$P$	$Q$	$P\wedge Q$
T	T	T
T	F	F
F	F	F
F	F	F

合式公式

1.合式公式：命题变项组成的有限长度的式子
2.联结词运算的优先级：$()\neg \wedge \vee \to \leftrightarrow$

重言式

1.重言式（永真式）：真值恒为1
2.矛盾式（永假式）：真值恒为0
3.可满足式：真值可以为1
4.代入规则：重言式中对所有相同命题变项用同一合式公式代换，仍永真

波兰表达式

1.中置式：$P\vee ((Q\vee R)\wedge S)$
2.前置式（波兰表达式）：$\vee P\wedge \vee QRS$
3.后置式（逆波兰表达式）：$PQR\vee S\wedge \vee$

命题逻辑的等值和推理演算

等值定理

1.等值：命题$A,B$在任何解释下真值都相同
2.定理(2.1.1)：$A=B;;\Leftrightarrow;;A\leftrightarrow B $ 是重言式

等值公式

1.子公式：合式公式的一部分，也是合式公式
2.置换规则：用等值公式置换合式公式$A$的子公式，A的真值不变
3.基本等值公式
$(P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow R=P\leftrightarrow (Q\leftrightarrow R)$
$(P\to Q)\to R\ne P\to (Q\to R)$
$P\to (Q\to R)=(P\to Q)\to (P\to R)$
$P\leftrightarrow (Q\leftrightarrow R)\ne (P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow (Q\leftrightarrow R)$

De Morgan 定律：
$\neg (P\vee Q)=\neg P\wedge \neg Q$
$\neg (P\wedge Q)=\neg P\vee \neg Q$

命题公式与真值表的关系

给定真值表
1.从取T的行来列写：$A=Q_1\vee Q_2\vee ...\vee Q_m$，$Q_i=R_1\wedge R_2\wedge ...\wedge R_n$
2.从取F的行来列写：$A=Q_1\wedge Q_2\wedge ...\wedge Q_m$，$Q_i=R_1\vee R_2\vee ...\vee R_n$

联结词的完备集

1.真值函项：等值公式视为同一类，选出一个作为代表
2.联结词的完备集：C是联结词的集合，对于任何n元真值函项
注：$n$个命题变项，$2^n$种解释，KaTeX parse error: Double superscript at position 4: 2^2^̲n个真值函项
定理： { ¬ , ∧ , ∨ } \{\neg,\wedge,\vee\} {¬,∧,∨}是完备的，最小的完备集 { ↑ } , { ↓ } \{\uparrow\},\{\downarrow\} {↑},{↓}

对偶式

设$A=A(P_1,P_2,...,P_n)$，令$A^{-}=A(\neg P_1,\neg P_2,...,\neg P_n)$，数学归纳法证明
1.对偶式：命题公式$A$中的$\wedge \vee TF$分别替换为$\vee \wedge FT$，记作$A^{\ast }$
2.定理(2.5.1)：$\neg (A^{\ast })=(\neg A{)}^{\ast },\neg (A^{-})=(\neg A{)}^{-}$
3.定理(2.5.3)：$\neg A=A^{\ast -}$
4.定理(2.5.4)：$A=B\Rightarrow A^{\ast }=B^{\ast }$
5.定理(2.5.5)：$A\to B永真\Rightarrow B^{\ast }\to A^{\ast }永真$
6.定理(2.5.6)：$A$与$A^{-}$同永真，同可满足；$\neg A$与$A^{\ast }$同永真，同可满足

范式

1.文字与互补对：命题变项$P$及其否定式$\neg P$统称为文字，$P,\neg P$为互补对
2.合取式：由文字合取所组成的公式
3.析取范式：形如$A_1\vee A_2\vee ...\vee A_n$的公式，其中$A_i$为合取式
4.范式存在定理：任一命题公式存在与之等值的合取范式与析取范式，不唯一
5.极小项：n个命题变项$P_1,...,P_n$组成的合取式$Q_1\vee ...\vee Q_n$，其中$Q_i=P_i/\neg P_i$，称合取式$Q_1\vee ...\vee Q_n$为极小项，以$m_i$表示
6.主析取范式：仅由极小项构成的析取范式
7.主析取范式定理：任一含有$n$个命题变项的公式，都存在唯一的与之等值的且恰仅含这$n$个命题变项的主析取范式
8.极小项的性质
(1)$n$个命题变项的公式，所有可能极小项个数为$2^n$
(2)每个极小项只在一个解释下为真
(3)极小项两两不等值，且$m_i\wedge m_j=F(i\ne j)$
(4)永真式的主析取范式：${\vee }_{i=0}^{2^n-1}{m}_i=T$；矛盾式的主析取范式：空公式
9.极大项的性质
(1)$n$个命题变项的公式，所有可能极大项个数为$2^n$
(2)每个极大项只在一个解释下为假
(3)极大项两两不等值，且$M_i\vee M_j=T(i\ne j)$
(4)永真式的主合取范式：空公式；矛盾式的主合取范式：${\wedge }_{i=0}^{2^n-1}{M}_i=F$

总结：

主析取范式的求法
(1)列出真值表，从$T$行开始列写
(2)析取范式$\to$主析取范式

极小项	表示方法
$m_0$	$\neg P_1\wedge \neg P_2$
$m_1$	$\neg P_1\wedge P_2$
$m_2$	$ P_1 \wedge \neg P_2$
$m_3$	$ P_1 \wedge P_2$

例：$P_1\to P_2\Rightarrow \neg P_1\vee P_2\Rightarrow m_{0\_}\vee m_{\_1}=m_{00}\vee m_{01}\vee m_{11}\Rightarrow {\vee }_{0,1,3}$

主合取范式的求法
(1)列出真值表，从$F$行开始列写
(2)先求出主析取范式，然后转化成主合取范式

极大项	表示方法
$M_0$	$\neg P_1\vee \neg P_2$
$M_1$	$\neg P_1\vee P_2$
$M_2$	$ P_1 \vee \neg P_2$
$M_3$	$ P_1 \vee P_2$

例：${\vee }_{0,1,3}$对应的主合取范式为 ∧ ( { 0 , 1 , 2 , 3 } − { 0 , 1 , 3 } ) 补 = ∧ ( { 2 } ) 补 = ∧ 1 \wedge_{(\{0,1,2,3\}-\{0,1,3\})补}=\wedge_{(\{2\})补}=\wedge_{1} ∧({0,1,2,3}−{0,1,3})补​=∧({2})补​=∧1​

推理形式

1.重言蕴含：$A$为真，$B$必为真，用$A\Rightarrow B$表示
2.重言蕴含的几个结果
(1)$A\Rightarrow B$，$A$重言，$B$重言
(2)$A\Rightarrow B$，$B\Rightarrow A$，则$A=B$
(3)$A\Rightarrow B$，$A\Rightarrow C$，则$A\Rightarrow C$
(4)$A\Rightarrow C$，$B\Rightarrow C$，则$A\vee B\Rightarrow C$
(5)$A\Rightarrow B$，$A\Rightarrow C$，则$A\Rightarrow B\wedge C$

基本推理公式

1.基本推理公式（结论2.8.1）
(1)$P\wedge Q\Rightarrow P$
(2)$\neg (P\to Q)\Rightarrow P$
(3)$\neg (P\to Q)\Rightarrow \neg Q$
(4)$P\Rightarrow P\vee Q$
(5)$\neg P\Rightarrow P\to Q$
(6)$Q\Rightarrow P\to Q$
(7)$\neg P\wedge (P\vee Q)\Rightarrow Q$
(8)（假言推理，分离规则）$P\wedge (P\to Q)\Rightarrow Q$
(9)$\neg Q \wedge (P\rightarrow Q) \Rightarrow \neg P $
(10)（三段论）$(P\to Q)\wedge (Q\to R)\Rightarrow (P\to R)$
(11)$(P\leftrightarrow Q)\wedge (Q\leftrightarrow R)\Rightarrow (P\leftrightarrow R)$
(12)$(P\to R)\wedge (Q\to R)\wedge (P\vee Q)\Rightarrow R$
(13)$(P\to Q)\wedge (R\to S)\wedge (P\vee Q)\Rightarrow Q\vee S$
(14)$(P\to Q)\wedge (R\to S)\wedge (\neg Q\vee \neg S)\Rightarrow \neg P\vee \neg R$
(15)$(Q\to R)\Rightarrow (P\vee Q)\to (P\vee R)$
(16)$(Q\to R)\Rightarrow (P\to Q)\to (P\to R)$
2.定理2.8.1：$A\Rightarrow B$成立等价于$A\to B$永真
3.定理2.8.2：$A\Rightarrow B$成立等价于$A\wedge \neg B $永假

推理演算

基本推理规则
(1)前提引入规则
(2)结论引用规则
(3)代入规则（对重言式中的命题变项使用代入规则）
(4)置换规则（对命题公式中的子公式用等值公式置换）
(5)分离规则（$P\wedge (P\to Q)\Rightarrow Q$）
(6)条件证明规则（$A_1\wedge A_2\Rightarrow B$与$A_1\Rightarrow A_2\to B$等值，即引入$A_2$作为附加前提）

例：证明$(\neg (P\to Q)\to \neg (R\vee S))\wedge ((Q\to P)\vee \neg R)\wedge R\Rightarrow (P\leftrightarrow Q)$

表示	解释
(1)$\neg (P\leftrightarrow Q)$	附加前提引入
(2)$\neg ((P\to Q)\wedge (Q\to P))$	(1)置换
(3)$\neg (P\to Q)\vee \neg (Q\to P)$	(2)置换
(4)$(Q\to P)\to \neg (P\to Q)$	(3)置换
(5)$\neg (P\to Q)\to \neg (R\vee S)$	前提引入
(6)$(Q\to P)\to \neg (R\vee S)$	三段论
(7)$(Q\to P)\vee \neg R$	前提引入
(8)$R\to (Q\to P)$	(7)置换
(9)$R$	前提引入
(10)$Q\to P$	三段论
(11)$\neg (R\vee S)$	三段论
(12)$\neg R\wedge \neg S$	(11)置换
(13)$\neg R$	(12)
(14)$\neg R\wedge R$	(10)(13)
(15)矛盾	(14)

归结推理法

证明$A\to B$是重言式，等价于证明$A\wedge \neg B$是矛盾式
例：证明$(S\to \neg Q)\wedge (P\to Q)\wedge (R\to \neg Q)\Rightarrow \neg P$
解：合取范式$(\neg S\vee \neg Q)\wedge (\neg P\vee Q)\wedge (R\vee S)\wedge (\neg R\vee \neg Q)\wedge P$，建立子句集 { ¬ S ∨ ¬ Q , ¬ P ∨ Q , R ∨ S , ¬ R ∨ ¬ Q , P } \{\neg S\vee \neg Q,\neg P\vee Q,R \vee S,\neg R\vee \neg Q,P\} {¬S∨¬Q,¬P∨Q,R∨S,¬R∨¬Q,P}

归结过程	解释
1.$\neg S\vee \neg Q$
2.$\neg P\vee Q$
3.$R\vee S$
4.$\neg R\vee \neg Q$
5.$P$
6.$R\vee \neg Q$	13归结
7.$\neg Q$	46归结
8.$\neg P$	27归结
9.空	58归结

命题逻辑的公理化

公理系统的结构

1.公理系统：从一些公理出发，根据演绎规则推导出一系列定理，这样的演绎体系叫做公理系统
2.公理系统的结构：
(1)初始符号：允许出现的全体符号
(2)形成规则：合法符号序列的形成方法
(3)公理：最基本的重言式
(4)变形规则：推理规则
(5)建立定理：重言式与证明过程

命题逻辑的公理系统（Russell公理系统）

初始符号：$A,B,...,Z$，$\neg ,\vee$，$()$，$⊢$（断言符，$⊢A$表示$A$是重言式）
形成规则：类似合式公式形成规则
定义：
$ A\rightarrow B = \neg A \wedge B$
$A\wedge B=\neg (\neg A\wedge \neg B)$
$A\leftrightarrow B=(A\to B)\wedge (B\to A)$
公理：
$⊢((P\vee P)\to P)$
$⊢(P\to (P\vee Q))$
$⊢((P\vee Q)\to (Q\vee P))$
$⊢((Q\to R)\to ((P\vee Q)\to (P\vee R)))$
变形规则：
(1)代入规则：$⊢A$，那么$⊢A\frac{\pi }{B}$
(2)分离规则：$⊢A,⊢A\to B$，那么$⊢B$
(3)置换规则：定义两边可以互相置换

常用定理：
定理3.2.1：$⊢(Q\to R)\to ((P\to Q)\to (P\to R))$
定理3.2.2：$⊢P\to P$
定理3.2.3：$⊢\neg P\vee P$
定理3.2.4：$⊢P\vee \neg P$
定理3.2.5：$⊢P\to \neg \neg P$
定理3.2.6：$⊢\neg \neg P\to P$
定理3.2.7：$⊢(P\to Q)\to (\neg Q\to \neg P)$

例：证明$P\to P\vee (P\wedge Q)$

欲证$⊢P\to P\vee (P\wedge Q)$，只需证定理1$⊢P\wedge Q\to P\vee (P\wedge Q)$与定理2$⊢P\to (P\wedge Q)$同时成立即可，然后由公理得证

欲证引理1，只需证$⊢P\to Q\wedge P$，使用公理即可得证

欲证引理2，只需证引理2.1$⊢\neg (P\wedge Q)\to \neg P$与引理2.2$⊢(\neg Q\to \neg P)\to (P\to Q)$

欲证引理2.1，由定义转化为证明$⊢\neg \neg (\neg P\vee \neg Q)\to \neg P$，由定理3.2.6和公理易证

欲证引理2.2，由定义转化证明$⊢(\neg \neg Q\vee \neg P)\to (\neg P\vee Q)$，只需由公理$⊢(P\vee Q)\to (Q\vee P)$与引理2.2.1$⊢(\neg P\vee \neg \neg Q)\to (\neg P\vee Q)$

欲证引理2.2.1，由定义转化证明$(P\to \neg \neg Q)\to (P\to Q)$，由定理3.2.6和公理得证

公理系统的完备性和演绎定理

完备性：所有重言式均可由公理系统推导出来
可靠性：非重言式不能由公理系统推导出来
演绎定理：前提$A$可以推出公式$B$，且不使用变项的代入，则$\vdash A\rightarrow B $ 成立

王浩算法

初始符号：$A,B,...,Z$，$\neg \wedge \vee \rightarrow \leftrightarrow $，$()$，$\alpha \beta \gamma…$(公式串)形成规则：合式公式形成规则相同；任何合式公式都是公式串，空符号串也是；$\alpha \beta$是公式串，则$\alpha ,\beta $与$\beta,\alpha$都是公式串且相同定义：(1)相继式：$\alpha \overset{s}{\rightarrow} \beta$
(2)相继式前件中$,$用$\wedge$替换，后件中$,$用$\vee$替换，便可化为$\alpha \to \beta$
(3)相继式$\alpha \stackrel{s}{\to }\beta$为真，则表示为$\alpha \stackrel{s}{\Rightarrow }\beta$
公理：若公式串$\alpha$与$\beta$都只有命题变项，无联结词，则$\alpha \stackrel{s}{\Rightarrow }\beta$充要条件是$\alpha$与$\beta$中至少含有一个相同的命题变项

变形规则	如果	那么
$\neg \Rightarrow$	$...\stackrel{s}{\Rightarrow }X,...$	$...,\neg X\stackrel{s}{\Rightarrow }...$
$\wedge \Rightarrow$	$...X,Y\stackrel{s}{\Rightarrow }...$	$...,X\wedge Y\stackrel{s}{\Rightarrow }...$
$\vee \Rightarrow$	$...X\stackrel{s}{\Rightarrow }...$且$...Y\stackrel{s}{\Rightarrow }...$	$...,X\vee Y\stackrel{s}{\Rightarrow }...$
$\to \Rightarrow$	$...,Y\stackrel{s}{\Rightarrow }...$且$...\stackrel{s}{\Rightarrow }...,X$	$...,X\to Y\stackrel{s}{\Rightarrow }...$
$\leftrightarrow \Rightarrow$	$...X,Y\stackrel{s}{\Rightarrow }...$且$...\stackrel{s}{\Rightarrow }...X,Y$	$...,X\leftrightarrow Y\stackrel{s}{\Rightarrow }...$
$\Rightarrow\neg $	$...,X\stackrel{s}{\Rightarrow }...$	$...\stackrel{s}{\Rightarrow }...,\neg X$
$\Rightarrow \wedge$	$...\stackrel{s}{\Rightarrow }...,X$且$...\stackrel{s}{\Rightarrow }...,Y$	$...\stackrel{s}{\Rightarrow }...,X\wedge Y$
$\Rightarrow \vee$	$...\stackrel{s}{\Rightarrow }...,X,Y$	$...\stackrel{s}{\Rightarrow }...,X\vee Y$
$\Rightarrow \to$	$...,X\stackrel{s}{\Rightarrow }...,Y$	$...\stackrel{s}{\Rightarrow }...,X\to Y$
$ \Rightarrow\leftrightarrow$	$...,X\stackrel{s}{\Rightarrow }...,Y$且$...,Y\stackrel{s}{\Rightarrow }...,X$	$...\stackrel{s}{\Rightarrow }...,X\leftrightarrow Y$

证明过程：反向使用变形规则，消到所有相继式无联结词，然后每个相继式前件和后件含有相同命题变量，得证

谓词逻辑的基本概念

谓词和个体词

1.个体词（主词）：独立存在的具体或抽象的客体
2.个体常项用$a,b,c...$表示；个体变项用$x,y,z...$表示；称个体变项的取值范围为个体域或论域，用$D$表示；总论域由世间一切事物组成。
3.谓词：个体域到集合 { T , F } \{T,F\} {T,F}上的映射
4.谓词常项与谓词变项：谓词常项表示具体性质或关系，谓词变项表示抽象或泛指的性质或关系，都用$P,Q,R...$表示
5.命题逻辑是零元谓词且为谓词常项

函数和量词

1.谓词逻辑中的函数：某一个体域到另一个体域的映射（不表判断），嵌入在谓词中，用小写字母表示
2.全称量词与存在量词
3.约束变元与自由变元：量词约束的范围称为辖域，被量词约束的变元叫做约束变元

一阶谓词合式公式

限定量词仅作用于个体变元，不作用于命题变项和谓词变项，不讨论谓词的谓词
注：若$A$是合式公式，则$(\exists x)A,(\forall x)A$是合式公式

自然语句的形式化

自然语句	形式化
所有的有理数都是实数	$(\forall x)(P(x)\to Q(x))$
有的实数是有理数	$(\exists x)(P(x)\wedge Q(x))$
没有无理数是有理数	$\neg (\exists x)(P(x)\wedge Q(x))$

对谓词变元的多次量化分析
$(\forall x)(\forall y)P(x,y)=(\forall x)((\forall y)P(x,y))$
$(\forall x)(\forall y)P(x,y)=(\forall y)(\forall x)P(x,y)$
$(\forall x)(\exists y)P(x,y)=(\forall x)((\exists y)P(x,y))$
$(\exists x)(\forall y)P(x,y)=(\exists x)((\forall y)P(x,y))$
$(\exists x)(\exists y)P(x,y)=(\exists x)((\exists y)P(x,y))$

有限域下公式的表示方法

设论域为 { 1 , 2 , 3 , . . . , n } \{1,2,3,...,n\} {1,2,3,...,n}
$(\forall x)P(x)=P(1)\wedge P(2)\wedge ...\wedge P(n)$
$(\exists x)P(x)=P(1)\vee P(2)\vee ...\vee P(n)$
无限域下谓词逻辑公式不能转换为命题逻辑公式

公式的普遍有效性和判定问题

1.有限域上一个公式的可满足性和普遍有效性依赖于个体域中个体的个数。即在某个含$k$个元素的$k$个体域上普遍有效（或可满足），则在任一$k$个体域上也普遍有效（或可满足）
2.如果某公式在$k$个体域上普遍有效，则在$k-1$个体域上也普遍有效
3.如果某公式在$k$个体域上可满足，则在$k+1$个体域上也可满足
4. 一阶谓词逻辑是不可判定的，对任一谓词公式而言，没有一个能行的方法判明它是否是普遍有效的
5.一阶谓词逻辑的某些子类是可判定的，其中包括：
(1) 仅含一元谓词变项的公式是可判定的
(2) $(\forall x_1)(\forall x_2)\dots (\forall x_n)P(x_1,x_2,\dots ,x_n)$和$(\exists x_1)(\exists x_2)\dots (\exists x_n)P(x_1,x_2,\dots ,x_n)$型公式若$P$中无量词和其它自由变项也是可判定的
(3) 个体域有穷时的谓词公式是可判定的
6.一阶谓词逻辑的普遍有效性是半可判定的，如果公式本身是普遍有效(或不可满足)的，则存在有限的判定算法，否则不存在有限的判定算法

谓词逻辑的等值和推理演算

否定型等值式

1.等值式：$A\leftrightarrow B$普遍有效
2.常用等值式继承自命题逻辑等值式
3.否定型等值式
$\neg (\forall x)P(x)=(\exists x)\neg P(x)$
$\neg (\exists x)P(x)=(\forall x)\neg P(x)$

量词分配等值式

1.合取词和析取词
$(\forall x)(P(x)\vee q)=(\forall x)P(x)\vee q$
$(\forall x)(P(x)\wedge q)=(\forall x)P(x)\wedge q$
$(\exists x)(P(x)\vee q)=(\exists x)P(x)\vee q$
$(\exists x)(P(x)\wedge q)=(\exists x)P(x)\wedge q$
$q$是命题变项，与$x$无关
2.蕴含词
$(\forall x)(P(x)\to q)=(\exists x)P(x)\to q$
$(\exists x)(P(x)\to q)=(\forall x)P(x)\to q$
$(\forall x)(p\to Q(x))=p\to (\forall x)Q(x)$
$(\exists x)(p\to Q(x))=p\to (\exists x)Q(x)$
3.含有相同变元的式子
$(\forall x)(P(x)\wedge Q(x))=(\forall x)P(x)\wedge (\forall x)Q(x)$
$(\exists x)(P(x)\vee Q(x))=(\exists x)P(x)\vee (\exists x)Q(x)$
4.变量易名
$(\forall x)(\forall y)(P(x)\vee Q(y))=(\forall x)P(x)\vee (\forall y)Q(y)$
$(\exists x)(\exists y)(P(x)\wedge Q(x))=(\exists x)P(x)\wedge (\exists y)Q(y)$

范式

1.前束范式：所有量词位于最左边（不含否定词），辖域延伸到末端，其中不含量词的公式称为基式或母式
2.前束范式存在定理：前束范式存在但不唯一
3.Skolem标准型：

(1)$\exists$前束范式（非要求）
存在量词在全称量词左边，母式中无自由变项
$$\begin{gathered} (\exists x)(\forall y)(\exists u)P(x,y,u) \\ \Rightarrow (\exists x)((\exists y)(\exists u)(P(x,y,u)\wedge \neg S(x,y))\vee (\forall z)S(x,z)) \\ \Rightarrow (\exists x)(\exists y)(\exists u)(\forall z)(P(x,y,u)\wedge \neg S(x,y))\vee S(x,z)) \end{gathered}$$
普遍有效下等值

(2)$\forall $前束范式
无存在量词
$$\begin{gathered} (\exists x)(\forall y)(\forall z)(\exists u)(\forall v)(\exists w)P(x,y,z,u,v,w) \\ \Rightarrow (\forall y)(\forall z)(\forall v)P(a,y,z,f(y,z),v,f(y,z,v)) \end{gathered}$$
不可满足时等值

基本推理公式

$(\forall x)(P(x)\to Q(x))\Rightarrow (\forall x)P(x)\to (\forall x)Q(x)$
$(\forall x)(P(x)\to Q(x))\Rightarrow (\exists x)P(x)\to (\exists x)Q(x)$
$(\forall x)(P(x)\leftrightarrow Q(x))\Rightarrow (\forall x)P(x)\leftrightarrow (\forall x)Q(x)$
$(\forall x)(P(x)\leftrightarrow Q(x))\Rightarrow (\exists x)P(x)\leftrightarrow (\exists x)Q(x)$
$(\forall x)(P(x)\to Q(x))\wedge (\forall x)(Q(x)\to R(x))\Rightarrow (\forall x)(P(x)\to R(x))$
$(\exists x)(\forall y)P(x,y)\Rightarrow (\forall y)(\exists x)P(x,y)$

推理演算

(1)前提引入规则
(2)结论引用规则
(3)代入规则（对重言式中的命题变项使用代入规则）
(4)置换规则（对命题公式中的子公式用等值公式置换）
(5)分离规则（$P\wedge (P\to Q)\Rightarrow Q$）
(6)条件证明规则（$A_1\wedge A_2\Rightarrow B$与$A_1\Rightarrow A_2\to B$等值，即引入$A_2$作为附加前提）
(7)UI规则（$\frac{(\forall x)P(x)}{\therefore P(y)}$与$\frac{(\forall x)P(x)}{\therefore P(a)}$）
(8)UG规则（$\frac{P(y)}{\therefore (\forall x)P(x)}$）
(9)EI规则（$\frac{(\exists x)P(x)}{\therefore P(a)}$）
(10)EG规则（$\frac{P(a)}{\therefore (\exists x)P(x)}$）
例：已知
$(\exists x)(P(x)\wedge (\forall y)(D(y)\to L(x,y)))$
$(\forall x)(P(x)\to (\forall y)(Q(y)\to \neg L(x,y)))$
求证：$(\forall x)(D(x)\to \neg Q(x))$

推理演算	解释
(1)$(\exists x)(P(x)\wedge (\forall y)(D(y)\to L(x,y)))$	前提引入
(2)$P(c)\wedge (\forall y)(D(y)\to L(c,y))$	EI规则
(3)$(\forall x)(P(x)\to (\forall y)(Q(y)\to \neg L(x,y)))$	前提引入
(4)$P(c)\to (\forall y)(Q(y)\to \neg L(c,y))$	UI规则
(5)$P(c)$	(2)
(6)$(\forall y)(D(y)\to L(c,y))$	(2)
(7)$D(y)\to L(c,y)$	UI规则
(8)$(\forall y)(Q(y)\to \neg L(c,y))$	(4)(5)分离
(9)$Q(y)\to \neg L(c,y)$	UI规则
(10)$L(c,y)\to \neg Q(y)$	(9)置换
(11)$D(y)\to \neg Q(y)$	(7)(10)三段论
(12)$(\forall y)(D(y)\to \neg Q(y))$	UG规则
(13)$(\forall x)(D(x)\to \neg Q(x))$	(12)置换

归结推理法

化成$\forall$前束范式，证明$A\Rightarrow B$等价于证明$A\wedge \neg B$不可满足，省略全称量词，建立子句集
例：已知
$(\exists x)(P(x)\wedge (\forall y)(D(y)\to L(x,y)))$
$(\forall x)(P(x)\to (\forall y)(Q(y)\to \neg L(x,y)))$
求证：$(\forall x)(D(x)\to \neg Q(x))$
子句集 { P ( a ) , ¬ D ( y ) ∨ L ( a , y ) , ¬ P ( x ) ∨ ¬ Q ( y ) ∨ ¬ L ( x , y ) , D ( b ) , Q ( b ) } \{P(a),\neg D(y)\vee L(a,y),\neg P(x)\vee \neg Q(y)\vee \neg L(x,y),D(b),Q(b)\} {P(a),¬D(y)∨L(a,y),¬P(x)∨¬Q(y)∨¬L(x,y),D(b),Q(b)}

归结推理	解释
(1)$P(a)$
(2)$\neg D(y)\vee L(a,y)$
(3)$\neg P(x)\vee \neg Q(y)\vee \neg L(x,y)$
(4)$D(b)$
(5)$Q(b)$
(6)$L(a,b)$	(2)(4)
(7)$\neg Q(y)\vee \neg L(a,y)$	(1)(3)
(8)$\neg L(a,b)$	(5)(7)
(9)空	(6)(8)

集合论

集合

集合的概念与表示方法

1.集合的概念：无法给出严格精确定义的最基本数学概念
2.集合的元素都是集合，对任意的集合$A$，都有$A\notin A$
3.表示法：外延表示法（列元素），内涵表示法（谓词表示）

集合间的关系与特殊集合

1.$A=B\iff (\forall x)(x\in A\leftrightarrow x\in B)$
2.$A\subseteq B\iff (\forall x)(x\in A\to x\in B)$
3.$A\subseteq A,(A\subseteq B\wedge B\subseteq A)\Rightarrow A=B,(A\subseteq B\wedge B\subseteq C)\Rightarrow A\subseteq C$
4.$A\subset B\iff (A\subseteq B\wedge A\ne B)$
5. ∅ = { x ∣ x ≠ x } , E = { x ∣ x = x } \varnothing =\{x|x\not =x\},E=\{x|x =x\} ∅={x∣x​=x},E={x∣x=x}

集合的运算

1.集合的基本运算
A ∪ B = { x ∣ x ∈ A ∨ x ∈ B } A\cup B=\{x|x\in A \vee x\in B\} A∪B={x∣x∈A∨x∈B}
A ∩ B = { x ∣ x ∈ A ∧ x ∈ B } A\cap B=\{x|x\in A \wedge x\in B\} A∩B={x∣x∈A∧x∈B}
A − B = { x ∣ x ∈ A ∧ x ∉ B } A-B=\{x|x\in A \wedge x\not \in B\} A−B={x∣x∈A∧x​∈B}
− A = E − A = { x ∣ x ∉ A } -A=E-A=\{x|x\not \in A\} −A=E−A={x∣x​∈A}
$A\oplus B=(A-B)\cup (B-A)$
2.广义并与广义交
∪ A = { x ∣ ( ∃ z ) ( z ∈ A ∧ x ∈ z ) } \cup A=\{x|(\exists z)(z\in A\wedge x\in z)\} ∪A={x∣(∃z)(z∈A∧x∈z)}
∩ A = { x ∣ ( ∀ z ) ( z ∈ A → x ∈ z ) } \cap A=\{x|(\forall z)(z\in A \rightarrow x\in z)\} ∩A={x∣(∀z)(z∈A→x∈z)}
注：$\cup \varnothing=\varnothing ,\cap \varnothing $无意义
3.幂集
P ( A ) = { x ∣ x ⊆ A } P(A)=\{x|x\subseteq A\} P(A)={x∣x⊆A}
4.有序对
< x , y > = { { x } , { x , y } } <x,y>=\{\{x\},\{x,y\}\} <x,y>={{x},{x,y}}
5.n元组$<x_1,x_2,...,x_n>$
$n=2$，有序对
$n>2$，$<x_1,x_2,...,x_n>=<<x_1,x_2,...,x_{n-1}>,x_n>$
6.笛卡尔积
A × B = { < x , y > ∣ x ∈ A ∧ y ∈ B } A\times B=\{<x,y>|x\in A \wedge y \in B\} A×B={<x,y>∣x∈A∧y∈B}
7.集合运算的优先顺序
一元运算符优于二元运算符，二元运算符优于集合关系符，集合关系符优于逻辑运算

Venn图

集合运算的性质和证明

1.分配律
$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$
$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$
2.摩根律
$A-(B\cup C)=(A-B)\cap (A-C)$
$A-(B\cap C)=(A-B)\cup (A-C)$
3.差集的性质
$A-B=A-(A\cap B)$
$A-B=A\cap -B$
$A\cup (B-A)=A\cup B$
$A\cap (B-C)=(A\cap B)-C$
4.对称差的性质
$(A\oplus B)\oplus C=A\oplus (B\oplus C)$
$A\cap (B\oplus C)=(A\cap B)\oplus (A\cap C)$
$A\oplus (A\oplus B)=B$
5.集合间关系
$(A\subseteq B)\wedge (C\subseteq D)\Rightarrow (A-D)\subseteq (B-C)$
6.幂集合的性质
$A\subseteq B\iff P(A)\subseteq P(B)$
$A=B\iff P(A)=P(B)$
$P(A)\in P(B)\Rightarrow A\in B$
$P(A)\cap P(B)=P(A\cap B)$
$P(A)\cup P(B)\subseteq P(A\cup B)$
$P(A-B)\subseteq (P(A)-P(B))\cup \varnothing$
$x\in A,y\in A\Rightarrow <x,y>\in P(P(A))$
7.传递集合
定义：$A$是传递集合$\iff (\forall x)(\forall y)((x\in y\wedge y\in A)\to x\in A)$
性质：
$A$是传递集合$\iff A\subseteq P(A)$
$A$是传递集合$\iff P(A)$是传递集合
$A$是传递集合且非空，则$\varnothing \in A$
$A$是传递集合$\Rightarrow \cup A$是传递集合，$\cap A=\varnothing$
$A$的元素都是传递集合$\Rightarrow \cup A,\cap A$是传递集合
8.广义交和广义并
$A\subseteq B\Rightarrow \cup A\subseteq \cup B$
$A\subseteq B\Rightarrow \cap A\subseteq \cap B$
$\cup (A\cup B)=(\cup A)\cup (\cup B)$
$\cap (A\cup B)=(\cap A)\cap (\cap B)$
$\cup (P(A))=A$
9.笛卡尔积
$C\ne \varnothing$则 $(A\subseteq B)\iff (A\times C\subseteq B\times C)\iff (C\times A\subseteq C\times B)$
$(A\times B\subseteq C\times D)\iff (A\subseteq C\wedge B\subseteq D)$

有限集合的基数

1.有限集合的基数：集合中元素个数
2.容斥原理：$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$
3.$|A\oplus B|=|A|+|B|-2|A\cap B|$

集合论公理系统

1.集合论公理系统是一阶谓词公理系统的拓展，可以推出一阶谓词的所有定理，研究对象只是集合
2.ZF集合论公理系统：
(1)外延公理：$(\forall x)(\forall y)(x=y\leftrightarrow (\forall z)(z\in x\leftrightarrow z\in y))$
(2)空集合存在公理：$(\exists x)(\forall y)(y\notin x)$
(3)无序对集合存在公理：$(\forall x)(\forall y)(\exists z)(\forall u)(u\in z\leftrightarrow ((u=x)\vee (u=y)))$
(4)并集合公理：$(\forall x)(\exists y)(\forall z)(z\in y\leftrightarrow (\exists u)(z\in u\wedge u\in x))$
(5)子集公理模式：$(\forall x)(\exists y)(\forall z)(z\in y\leftrightarrow (z\in x\wedge P(z)))$
(6)幂集合公理：$(\forall x)(\exists y)(\forall z)(z\in y\leftrightarrow (\forall u)(u\in z\to u\in x))$
(7)正则公理：$(\forall x)(x\ne \varnothing \to (\exists y)(y\in x\wedge (x\cap y=\varnothing )))$
(8)无穷公理： ( ∃ x ) ( ∅ ∈ x ∧ ( ∀ y ) ( y ∈ x → ( y ∪ { y } ) ∈ x ) ) (\exists x)(\varnothing \in x \wedge (\forall y)(y\in x \rightarrow (y\cup\{y\})\in x)) (∃x)(∅∈x∧(∀y)(y∈x→(y∪{y})∈x))
(9)替换公理模式：$(\forall x)(\exists !y)P(x,y)\to (\forall t)(\exists s)(\forall u)(u\in s\leftrightarrow (\exists z)(z\in t\wedge P(z,u)))$
(10)选择公理：$(\forall relationshipR)(\exists functionF)(F\subseteq R\wedge dom(R)=dom(F))$
3.自然数的集合公理定义
(1)对于任意的集合$A$，定义集合 A + = A ∪ { A } A^+=A\cup\{A\} A+=A∪{A}，称$A^{+}$是$A$的后继，$A$是$A^{+}$的前驱
(2)集合$0=\varnothing$是一个自然数，若集合$n$是一个自然数，$n+1=n^{+}$也是
(3)$$\begin{gathered} m<n\iff m\subset n\iff n>m \\ m⩽n\iff m\subseteq n\iff n⩾m \end{gathered}$$
(4)集合$N$具有三歧性
(5)三歧性：对于集合$A$，若对于任意的集合$A_1\in A{A}_2\in A$，使得$A_1\in A_2,A_1=A_2,A_2\in A_1$ 恰好有一个成立，称$A$具有三歧性
4.交集存在定理，差集存在定理，广义交存在定理，笛卡尔积存在定理，万有集不存在定理
5.集合重要性质：$A\notin A$；$\neg (A\in B\wedge B\in A)$

关系

二元关系

1.二元关系：集合为空或集合中任何元素都是有序对，则称该集合为一个二元关系，记作$R$，简称关系，$<x,y>\in R$记作$xRy$
2.$A$到$B$的二元关系：$A\times B$的任一子集；$A=B$时，称为$A$上的二元关系
3.恒等关系 I A = { < x , x > ∣ x ∈ A } I_A=\{<x,x>|x\in A\} IA​={<x,x>∣x∈A}；全域关系 E A = { < x , y > ∣ x ∈ A ∧ y ∈ A } E_A=\{<x,y>|x\in A\wedge y\in A\} EA​={<x,y>∣x∈A∧y∈A}；空关系$\varnothing$
4. d o m ( R ) = { x ∣ ( ∃ y ) ( < x , y > ∈ R ) } r a n ( R ) = { y ∣ ( ∃ x ) ( < x , y > ∈ R ) } f l d ( R ) = d o m ( R ) ∪ r a n ( R ) dom(R)=\{x|(\exists y)(<x,y>\in R)\}\\ran(R)=\{y|(\exists x)(<x,y>\in R)\}\\fld(R)=dom(R)\cup ran(R) dom(R)={x∣(∃y)(<x,y>∈R)}ran(R)={y∣(∃x)(<x,y>∈R)}fld(R)=dom(R)∪ran(R)

关系矩阵和关系图

1.关系矩阵：$M(R)=(r_{ij}{)}_{m\times n}{r}_{ij}=[<x_i,y_j>\in R]$
2.关系图：$G(R)=(V,E)V=X\cup Y{e}_{ij}\in E\leftrightarrow <x_i,y_j>\in R$

关系的逆、合成、限制和象

默认R为X到Y的关系，S为Y到Z的关系，Q是Z到W的关系
1.定义
(1) R − 1 = { < x , y > ∣ < y , x > ∈ R } R^{-1}=\{<x,y>|<y,x>\in R\} R−1={<x,y>∣<y,x>∈R}
(2) S ∘ R = { < x , y > ∣ ( ∃ z ) ( < x , z > ∈ R ∧ < z , y > ∈ S ) } S\circ R=\{<x,y>|(\exists z)(<x,z>\in R \wedge <z,y>\in S)\} S∘R={<x,y>∣(∃z)(<x,z>∈R∧<z,y>∈S)}
(3) R ↑ A = { < x , y > ∣ < x , y > ∈ R ∧ x ∈ A } R\uparrow A=\{<x,y>|<x,y>\in R \wedge x\in A\} R↑A={<x,y>∣<x,y>∈R∧x∈A}
(4) R [ A ] = { y ∣ ( ∃ x ) ( x ∈ A ∧ < x , y > ∈ R ) } R[A]=\{y|(\exists x)(x\in A\wedge <x,y>\in R)\} R[A]={y∣(∃x)(x∈A∧<x,y>∈R)}
2.逆关系的性质
(1)$dom(R^{-1})=ran(R)ran(R^{-1})=dom(R)$
(2)$(S\circ R{)}^{-1}=R^{-1}{S}^{-1}$
3.结合律：$(R\circ S)\circ Q=R\circ (S\circ Q)$
4.关系的合成与集合的运算
(1)$S\circ (R\cup R^{\prime })=S\circ R\cup S\circ R^{\prime }S\circ (R\cap R^{\prime })\subseteq S\circ R\cap S\circ R^{\prime }$
(2)$(S\cup S^{\prime })\circ R=S\circ R\cup S^{\prime }\circ R(S\cap S^{\prime })\circ R\subseteq S\circ R\cap S^{\prime }\circ R$
(3)$R\uparrow (A\cup B)=R\uparrow A\cup R\uparrow BR\uparrow (A\cap B)=R\uparrow A\cap R\uparrow B$
(4)$R[A\cup B]=R[A]\cup R[B]R[A\cap B]\subseteq R[A]\cap R[B]$
(5)$R[A]-R[B]\subseteq R[A-B]$
5.$M(S\circ R)=M(R)\times M(S)$