形式语言与自动机

绪论

字母表

概念：形式符号的非空有限集合

集合：常用$\Sigma$表示

字符串

概念：字母表$\Sigma$上的一个字符串，为$\Sigma$中字符构成的有限序列

空串：常用$\epsilon$表示

幂运算：设$\Sigma$为字母表，$n$为任意自然数，定义

​ （1） Σ 0 = { ε } \Sigma^0=\{\varepsilon\} Σ0={ ε}

​ （2）设$x\in {\Sigma }^{n-1},a\in \Sigma$，则$ax\in {\Sigma }^n$

​ （3）${\Sigma }^n$中元素只能由（1）（2）生成

字母表中可以包含空字符，所以${\Sigma }^i$的元素的长度不一定为$i$

*闭包：${\Sigma }^{\ast }={\Sigma }^0\cup {\Sigma }^1\cup ...$

+闭包：${\Sigma }^{+}={\Sigma }^1\cup {\Sigma }^2\cup ...$

语言

概念：设$\Sigma$为字母表，则任何集合$L\subseteq {\Sigma }^{\ast }$是字母表$\Sigma$上的一个语言

语言的连接： L M = { w 1 w 2 ∣ w 1 ∈ L ∧ w 2 ∈ M } LM=\{w_1w_2|w_1\in L\wedge w_2\in M\} LM={ w1​w2​∣w1​∈L∧w2​∈M}

语言的闭包：$L^{\ast }=L^0\cup L^1\cup L^2...$

上下文无关语言与下推自动机

设 Σ = { 0 , 1 } , L = { 0 n 1 n ∣ n ≥ 1 } \Sigma=\{0,1\},L=\{0^n1^n|n\geq 1\} Σ={ 0,1},L={ 0n1n∣n≥1}

下推自动机识别：维护一个栈，转移方向由栈顶和字符共同确定，每次转移识别一个字符并对栈进行修改

图灵机及其语言

设 Σ = { 0 , 1 , 2 } , L = { 0 n 1 n 2 n ∣ n ≥ 1 } \Sigma=\{0,1,2\},L=\{0^n1^n2^n|n\geq 1\} Σ={ 0,1,2},L={ 0n1n2n∣n≥1}，则不存在任何自动机和下推自动机可以识别该语言，但是总存在一个图灵机可以识别

归纳证明法

1.基础：至少包含集合中一个元素

2.归纳：由已知元素生成新元素

3.极小性限制：集合中的元素只能由1、2生成

上下文无关文法与上下文无关语言

##上下文无关文法的基本概念

设 ∑ = { 0 , 1 } ， L = { 0 n 1 n ∣ n ≥ 1 } \sum=\{0,1\}，L=\{0^n1^n|n\geq 1\} ∑={ 0,1}，L={ 0n1n∣n≥1}

则接受该语言的文法为$S\to 01$，$S\to 0S1$

四个基本要素：终结符集合$T$，非终结符集合$V$，开始符号$S$，产生式集合$P$

一个上下文无关文法是一个四元组$G=(V,T,P,S)$，其中$V\cap T=\varnothing$，$S\in V$，产生式规则形如$A\to \alpha$，$\alpha \in (V\cup T{)}^{\ast }$

对于文法：$E\to EOE$ ，$E\to (E)$ ，$E\to v$ ，$E\to d$ ，$O\to +$ ，$O\to \ast$

G = ( { E , O } , { ( , ) , + , ∗ , v , d } , P , E ) G=(\{E,O\},\{(,),+,*,v,d\},P,E) G=({ E,O},{ (,),+,∗,v,d},P,E)

缩记方式：$E\to EOE|(E)|v|d$

归约与推导

推理字符串是否符合文法定义语言，归约是由字符串推出开始符号，推导是由初始符号推出字符串

计算机实现归约（CKY算法）：动态规划，全枚举，由于$E\to (E)$是三叉，时间复杂度较高

计算机实现推导（EARLY算法）：维护两个栈，将规则推入栈中进行探索

最左推导：每一步替换最左边的非终结符

最右推导：

句型：设$CFGG=(V,T,P,S)$，称$\alpha \in (V\cup T{)}^{\ast }$为$G$的一个句型，当且仅当$S\stackrel{\ast }{\to }\alpha$

若$S\underset{lm}{\overset{\ast }{\to }}\alpha$，称$\alpha$是一个左句型

若句型$\alpha \in T^{\ast }$，则称$\alpha$为一个句子

上下文无关语言

设$CFGG=(V,T,P,S)$，定义$G$的语言为 L ( G ) = { w ∣ w ∈ T ∗ ∧ S → G ∗ w } L(G)=\{w|w\in T^*\wedge S\xrightarrow[G]{*} w\} L(G)={ w∣w∈T∗∧S∗ G​w}

上下文无关语言：由CFG生成的语言

证明给定语言L是某个文法G的语言

一般步骤：$ifw\in Gthenw\in L(G)$；$ifw\in L(G)thenw\in L$

文法与语言的Chomsky分类方法

文法：$G=(V,T,P,S)$

0型文法：产生式形如$\alpha \to \beta$ ，其中$\alpha$中至少包含一个非终结符，相当于图灵机

1型文法：产生式形如$\alpha \to \beta$ ，$|\alpha |\le |\beta |$ ，当$S\to \epsilon$例外，且S不得出现在任何产生式右侧，上下文有关文法，相当于线性有界自动机

2型文法：产生式形如$A\to \beta$ ，其中$A\in V$，上下文无关文法，下推自动机

3型文法：产生式形如$A\to aB$或$A\to a$，正规文法，有限状态自动机

语法分析树

语法分析树：推导过程自上而下构成一棵树，满足以下条件

(1)每个内部节点由一个非终结符标记

(2)每个叶节点或由一个非终结符，或由一个终结符，或由$\epsilon$标记，但是当为$\epsilon$标记，为父节点唯一孩子

(3)若一个内部节点标记为A，孩子从左到右为$X_1...X_k$，则$A\to X_1...X_k$为产生式

语法树的果实：叶节点从左到右连接起来

文法和语言中的二义性

存在句子对应至少两个语法分析树/最左推导的文法是有二义性的

上下文无关语言L的所有文法都是二义性的，则称L为固有二义性

例： L = { a n b n c m d m ∣ n ≥ 1 , m ≥ 1 } ∪ { a n b m c m d n ∣ n ≥ 1 , m ≥ 1 } L=\{a^nb^nc^md^m|n\geq1,m\geq 1\}\cup\{a^nb^mc^md^n|n\geq1,m\geq 1\} L={ anbncmdm∣n≥1,m≥1}∪{ anbmcmdn∣n≥1,m≥1}

消除二义性的方式：

​ 算符优先级联(将一种算符处理完再处理别的算符)

​ 左结合(左算符优先)

​ 最近嵌套匹配(消除悬垂else二义性)

正规表达式与正规语言

正规表达式

作用于正规表达式的三种运算：

L ∪ M = { w ∣ w ∈ L ∨ w ∈ M } L\cup M=\{w|w\in L\vee w\in M\} L∪M={ w∣w∈L∨w∈M}

L ⋅ M = { w 1 w 2 ∣ w 1 ∈ L ∧ w 2 ∈ M } L\cdot M=\{w_1w_2|w_1\in L\wedge w_2\in M\} L⋅M={ w1​w2​∣w1​∈L∧w2​∈M}

$L^{\ast }={\cup }_{i\ge 0}{L}^i$

语法：设字母表$\Sigma$，正规表达式集合$R$

基础：$\epsilon ,\varnothing \in R$ $a\in \Sigma \Rightarrow a\in R$ $\forall 变量L\in R$

归纳：$E\in R\wedge F\in R\Rightarrow E+F\in R$；$E\in R\wedge F\in R\Rightarrow EF\in R$；$E\in R\Rightarrow E^{\ast }\in R$；$E\in R\Rightarrow (E)\in R$

语义：对每个不含变量的$E\in R$ ，$E$的语言$L(E)$ 递归定义如下

基础： L ( ε ) = { ε } L(\varepsilon)=\{\varepsilon\} L(ε)={ ε}；$L(\varnothing )=\varnothing$； a ∈ Σ ⇒ L ( a ) = { a } a\in \Sigma \Rightarrow L(a)=\{a\} a∈Σ⇒L(a)={ a}

归纳：$E\in R\wedge F\in R\Rightarrow L(E+F)=L(E)\cup L(F)$ ；$E\in R\wedge F\in R\Rightarrow L(EF)=L(E)L(F)$ ；$E\in R\Rightarrow L(E^{\ast })=(L(E){)}^{\ast }$ ；$L((E))=L(E)$

算符优先级：()>*>·>+

派生运算符：$L^{+}=L{L}^{\ast }$；$L?=\epsilon +L$；$L^n=L{L}^{n-1}$

正规语言

对于字母表$\Sigma$上的语言$R$，若存在$\Sigma$上的正规表达式$E$，满足$L(E)=R$，则$R$是正规语言

代数定律：

交换律和结合律

零元：$\varnothing +L=L+\varnothing =L\varnothing L=L\varnothing =\varnothing$

幺元：$\epsilon L=L\epsilon =L$

分配律

等幂律：$L+L=L$

与闭包相关的定律

代数定律具体化

例：验证$L+ML=(L+M)L$是否成立，只需验证对于具体符号$a+ba=(a+b)a$是否成立，显然$aa$属于后者不属于前者

有限状态自动机

有限状态自动机：有限状态集，有限输入符号集，转移函数，一个开始状态，终态集合

确定有限状态自动机

确定有限状态自动机DFA是一个五元组$A=(Q,\Sigma ,\delta ,q_0,F)$

其中，$\delta :Q\times \Sigma \to Q$，$q_0\in Q$，$F\subseteq Q$

扩展转移函数，适合输入字符串：${\delta }^{\prime }:Q\times {\Sigma }^{\ast }\to Q$

$\forall q\in Q$，有${\delta }^{\prime }(q,\epsilon )=q$，若 w = x a      ( x ∈ Σ ∗ , a ∈ Σ ) w=xa\;\;(x\in \Sigma^*,a