数学大还是逻辑大？塔斯基说：随你！

提要： 阿尔弗雷德·塔斯基（Alfred Tarski）在一次题为“什么是逻辑概念？”的演讲中，对数学和逻辑的关系这个玄之又玄的问题给出非常优雅而简洁的回答。

数学是逻辑的一部分还是相反？这是个有意思的话题。

逻辑学家大概喜欢说数学只不过是逻辑的一部分。罗素与怀特海的《数学原理》就是做这个的。但是这难免会令一些数学家不爽。

看到塔斯基对这个问题的解答，感觉很简洁和优雅。1966年5月塔尔斯基在伦敦大学贝德福德学院的演讲，题目是“什么是逻辑概念？”柯可兰整理了这个演讲稿，在塔斯基去世后第三年，发表在《逻辑史和逻辑哲学》1986年第7卷。

塔斯基首先对什么是一个逻辑的概念提出了一个方案：“称一个概念是 “逻辑的”，如果它对世界到自身的所有可能的一一变换都保持不变。” 其中，“世界”也可代换为“论域”。

这个方案（也就是术语“逻辑概念”的界定）的合理性在哪里？一个有力的回答是，《数学原理》中定义的概念都符合这个提议。这里，塔斯基呈现了一个似乎并不难理解的简洁而优雅的说明，在上述建议的意义下，

1）在个体层次上不存在逻辑概念；

2）在个体类中，恰有两个逻辑概念（全域类和空类）；

3）二元关系只有四个逻辑概念（n元关系有少量有穷多个）；

4）类的类（类的性质）：仅与这些类中元素的数目有关的性质才是逻辑概念。

进一步，类之间的关系：类之间的包含、两个类的不相交性、两个类的重叠以及许多其他关系，都符合上述“逻辑概念”的定义，并且也都是通常意义上的逻辑概念。

换言之，在域的所有一一变换中保持不变的这一性质，正是一直以来人们认为是逻辑概念的那些对象背后的基本性质。

再此基础上，塔斯基通过对“数学概念是否都是逻辑概念”的讨论，来引出“数学是否逻辑的一部分”的答案。

“众所周知，全部数学可以在集合论或类理论中构造，因此，上述问题可以归约为如下问题：集合论的概念是否都是逻辑概念？我们又知道，所有通常的集合论概念可以用一个概念来定义，即归属概念或属于关系的概念，因此我们的问题的最后一种形式是：属于关系是否是我所建议的意义上的逻辑概念？”

（惊叹：一个看似玄而又玄的问题，就归结于“属于关系”的定义方法这么一个“小”问题上！）

答案是——取决于怎样构造集合论。用“类型方法”（《数学原理》的方法），集合论就是逻辑的一部分。用“一阶方法”（策梅洛、冯·诺依曼和贝奈斯等人的方法），其中“没有类型分层，只有一个论域，个体之间的属于关系是不加定义的关系、一个初始概念”，这样，数学概念就不属于上述意义的逻辑概念。

我觉着，塔斯基内心里大概也是喜欢前一种方式的，只是碍着数学家的“面子问题”。把“属于关系”当作直接引进的也无所谓啊——反正这背后的道理已经是清楚了，就好象坐船过河，还是走桥过河，只是一个局部的技术性选择，可以“随你所愿”。

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参考：A. 塔斯基《什么是逻辑概念？》刘新文/译，《世界哲学》2014年3期
在线版本：http://www.philosophy.org.cn/Subject_info.aspx?n=20150304161520190030

原发：2015-05-08 https://www.douban.com/group/topic/75075773/

作者印记：f6c6c0

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