平衡二叉树AVL的基本操作之插入

        平衡二叉树或是一棵空树，或是具有下列性质的二叉排序树：其左子树和右子树都是平衡二叉树，而且左右子树深度之差绝对值不超过1. 由此引出了平衡因子（balance factor）的概念，bf定义为该结点的左子树的深度减去右子树的深度（有些书是右子树深度减去左子树深度，我是按照左子树减去右子树来计算的，下面的代码也是这样定义的），所以平衡二叉树的结点的平衡因子只可能是 -1，0，1 ，某个结点的平衡因子绝对值大于1，该二叉树就不平衡。

        平衡二叉树在出现不平衡状态的时候，要进行平衡旋转处理，有四种平衡旋转处理（单向右旋处理，单向左旋处理，双向旋转（先左后右）处理，双向旋转（先右后左）处理），归根到底是两种（单向左旋处理和单向右旋处理）。

下面是四种旋转的示意图：

图1 LL旋转 和 RR旋转

图2  LR旋转

图3 LR旋转和LL旋转

图4  RL旋转

图5  LR旋转

        这四种旋转可以归纳为两类：LL旋转和LR旋转可以归为左旋转，RR旋转和RL旋转归为右旋转。

类型定义：

typedef struct AVLNode * AVLTree;

typedef struct AVLNode{
	int data;
	short int bf;
	AVLTree lchild,rchild;
}AVLNode;

左旋函数：

void leftRotate(AVLTree *root,bool *unbalanced)
{
	AVLTree child,gchild;//gchild : grand child
	child = (*root)->lchild;
	if (child->bf == 1) {
		/* LL rotation */
		(*root)->lchild = child->rchild;
		child->rchild = *root;
		(*root)->bf = 0;
		(*root) = child;
	}
	else {
		/* LR rotation */
		gchild = child->rchild;
		child->rchild = gchild->lchild;
		gchild->lchild = child;
		(*root)->lchild = gchild->rchild;
		gchild->rchild = *root;
		switch (gchild->bf) {
			case 1:		(*root)->bf = -1;
						child->bf = 0;
						break;
			case 0:		(*root)->bf = child->bf = 0;
		 				break;
		 	case -1:	(*root)->bf = 0;
		 				child->bf = 1;
		}
		*root = gchild;	
		
	}
	(*root)->bf = 0;
	*unbalanced = false;
} 

右旋函数：

void rightRotate(AVLTree *root, bool *unbalanced)
{
	AVLTree child,gchild;/*gchild : grand child*/ 
	child = (*root)->rchild;
	if (child->bf == -1) {
		/* RR rotation */
		(*root)->rchild = child->lchild;
		child->lchild = *root;
		(*root)->bf = 0;
		(*root) = child;
	}
	else {
		/* RL rotation */
		gchild = child->lchild;
		child->lchild = gchild->rchild;
		gchild->rchild = child;
		(*root)->rchild = gchild->lchild;
		gchild->lchild = *root;
		switch (gchild->bf) {
			case -1:	(*root)->bf = 1;
						child->bf = 0;
						break;
			case 0:		(*root)->bf = child->bf = 0;
		 				break;
		 	case 1:		(*root)->bf = 0;
		 				child->bf = -1;
		}
		*root = gchild;	
		
	}
	(*root)->bf = 0;
	*unbalanced = false;
}

AVL树的插入函数：

void AVLInsert(AVLTree *root, int x, bool *unbalanced)
{
	if(*root == NULL){
		/* insert into a null tree */
		*unbalanced = true;
		*root = new AVLNode;
		(*root)->lchild = (*root)->rchild = NULL;
		(*root)->bf = 0;
		(*root)->data = x;
	}
	else if (x < (*root)->data) {
		AVLInsert(&((*root)->lchild),x,unbalanced);
		if (*unbalanced)
		/* left branch has grown higher */
			switch ((*root)->bf) {
				case -1: 	(*root)->bf = 0;
							*unbalanced  = false;
							break;
				case 0: 	(*root)->bf = 1;
							break;
				case 1:		leftRotate(root,unbalanced);
			}
	}
	else if (x > (*root)->data) {
		AVLInsert(&((*root)->rchild), x, unbalanced);
		if (*unbalanced)
		/* right branch has grown higher */
			switch ((*root)->bf){
				case 1: 	(*root)->bf = 0;
							*unbalanced = false;
							break;
				case 0:		(*root)->bf = -1;
							break;
				case -1:	rightRotate(root,unbalanced);
			} 
	}
	else {
		*unbalanced = false;
		cout<<"Node x = "<<x<<" is alreay in the tree."<<endl;
	}
}

测试结果：

从0到9到插入结果

 0
---------------------cut---------------------
   0  
     \
     1
---------------------cut---------------------
   1  
 /   \
 0   2
---------------------cut---------------------
       1      
     /   \    
   0       2  
             \
             3
---------------------cut---------------------
       1      
     /   \    
   0       3  
         /   \
         2   4
---------------------cut---------------------
       3      
     /   \    
   1       4  
 /   \       \
 0   2       5
---------------------cut---------------------
       3      
     /   \    
   1       5  
 /   \   /   \
 0   2   4   6
---------------------cut---------------------
               3              
             /   \            
       1               5      
     /   \           /   \    
   0       2       4       6  
                             \
                             7
---------------------cut---------------------
               3              
             /   \            
       1               5      
     /   \           /   \    
   0       2       4       7  
                         /   \
                         6   8
---------------------cut---------------------
               3              
             /   \            
       1               7      
     /   \           /   \    
   0       2       5       8  
                 /   \       \
                 4   6       9
---------------------cut---------------------

REF：

1，http://blog.youkuaiyun.com/jkay_wong/article/details/6676488

2，数据结构（C语言版） Ellis Horowitz