数据结构-复习（三）：平衡二叉树 AVL

最新推荐文章于 2024-05-24 10:39:37 发布

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分类专栏：数据结构文章标签：平衡二叉树

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2.9 平衡二叉树

原因：由于二叉搜索树的时间复杂度受输入顺序的影响，在最好的情况下复杂度为O(log n),最坏的情况下复杂度为O(n);为了使二叉搜索树的时间复杂度始终保持在O(log n)级的平衡状态，Adelson-Velskii和Landis发明了AVL树（平衡二叉树）。

定义

定义：结点的平衡因子：二叉树中某结点的右子树的高度和左子树的高度之差称为该节点的平衡因子。

平衡二叉树：是一个空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

树中的任意一个节点的平衡因子的绝对值不超过1；
任一结点的左子树和右子树都是平衡二叉树。

基本操作：

查找：和二叉搜索树算法一致。
插入：为了使插入节点后的二叉树仍然保持平衡二叉树的性质，就需要在插入结点后判断插入行为是否破坏了平衡性，如果破坏了平衡性，则要调整树的结构使其平衡化。

平衡化的调整方式：在插入一个新节点后，需要从插入位置沿通向根的路径回溯，检查各个节点的平衡因子。如果在某一节点处发现不平衡，停止回溯。从发生不平衡的结点起，沿刚才回溯的路径取直接下两层的结点。

如果这三个节点处于一条直线上则采用单旋转进行平衡化。按旋转方向分为左单旋转(2)和右单旋转(-2)。
如果这三个节点处于一条折线上，则采取双旋转进行平衡化。双旋分为左右旋转(-2)和右左旋转(2)。

删除：删除节点的步骤如下：

用一般的二叉搜索树的删除算法找到并删除节点x;
沿根节点到被删除节点的路径的逆向逐层向上回溯，并重新计算x的祖先结点的平衡因子，必要时修改x祖先的平衡因子。
回溯途中如果发现某个祖先失去了平衡性，就要进行调整使之平衡。
如果平衡调整以后，子树的高度比调整前降低了，需要继续回溯，即继续沿着通过根的路径上考查其父节点的平衡因子，重复上面的过程。在平衡二叉树上删除一个节点，可能引起多次平衡化调整。
如果平衡化调整后子树的高度不变，则停止回溯。

AVL树的效率：

AVL树的检索、插入、删除的效率都是O(log n).

二叉搜索树（包括AVL树)适用于组织内存中小规模的目录。对于较大的、存放在外存储器上的文件，用二叉搜索树来组织索引就不太合适。在文件索引中大量使用的是每个节点包含多个关键码的B树，尤其是B+树。

2.10 堆和优先队列

2.11 huffman编码树

huffman树又称最优二叉树，是一类加权路径长度最短的二叉树，在编码设计、决策与算法设计等领域中有着广泛的应用。

建立huffman

给出n个实数W0,W1,...,Wn(n>=2),要求得到一个具有那个外部节点的扩充二叉树，该扩充二叉树的每个外部节点 $k_i$ 有一个 $W_i$ 与之对应，作为节点 $k_i$ 的权值，使得带权路径外部长度 $WPL=\sum_{i=0}^{n-1} W_il_i$ 为最小， $l_i$ 是从根到外部节点 $k_i$ 的路径长度。