31、广播博弈与整数最小权重转换中的相关理论研究

广播博弈与整数最小权重转换中的相关理论研究

1. 广播博弈中的价格无政府性与稳定性

1.1 基本定理与潜在函数法

在无向广播博弈中，有重要定理指出，对于任意具有 $|V|$ 个顶点的无向广播博弈，价格无政府性（POPoA）满足 $POPoA = O(\log |V|)$。在证明该定理前，我们可以通过潜在函数法来理解一些基本关系。设 $P$ 和 $P^ $ 分别是具有最小潜在值和最小成本的策略配置，根据相关公式有：
[cost(P) \leq \Phi(P) \leq \Phi(P^ ) \leq H(n) \cdot cost(P^*)]
这里的潜在函数法由 Anshelevich 等人引入，它为后续的分析奠定了基础。

1.2 度量闭包的影响

为了得到更精确的结果，我们需要研究度量闭包对无向广播博弈中 POPoA 和 POPoS 的影响。
- 度量闭包的定义 ：网络 $(G = (V, E), c : E \to R^+)$ 的度量闭包是网络 $(\hat{G} = (V, \hat{E} = \binom{V}{2}), \hat{c} : \hat{E} \to R^+)$，其中 $\hat{c}(u, v)$ 定义为在 $(G, c)$ 中从 $u$ 到 $v$ 的最短路径的成本。
- 对最小社会成本的影响 ：通过引理 5 可知，最小社会成本不受度量闭包的影响，即
[\min_{P \in P_I} cost_I(P) = \min_{Q \in P_{\hat{I}}} cost_{\hat{I}}