MATLAB信号处理与滤波技术解析

35、考虑以下观测信号：当 n = 1 到 200 时，y[n] = b[n] + 1；当 n = 201 到 1000 时，y[n] = b[n] + 6，其中 b[n] 是方差为 1 的零均值白高斯噪声。编写一个 MATLAB 代码，使用卡尔曼滤波器估计观测信号 y[n] 中涉及的常数值。将考虑以下两种情况：1. 状态方程几乎确定。在这种情况下，将考虑方差为 0.1 的零均值白高斯状态噪声。2. 状态模型假设未知。在这种情况下，将考虑方差为 0.64 的零均值白高斯状态噪声。在同一图中绘制理想常数信号、含噪信号和估计信号。对得到的结果进行评论。

以下是部分代码，可对第一种情况（状态方程几乎确定，状态噪声方差为 0.1）进行处理：

sigmau = 1;
T = 1000;
x = [ones(200, 1); 6 * ones(T - 200, 1)];
y = x + sigmau * randn(T, 1);
t = (0 : T - 1);
sigmaw = 0.01;
s_n = (sigmaw / sigmau)^2;
moy_x = zeros(T, 1);
g(1) = sigmau^2;
moy_x(1) = y(1);

for k = 2 : T
    g(k) = (s_n + g(k - 1)) / (1 + s_n + g(k - 1));
    moy_x(k) = moy_x(k - 1) + g(k - 1) * (y(k) - moy_x(k - 1));
end

subplot(211);
plot(t, x, '-', t, y, ':', t, moy_x, 'o');
title('sigmau=1, sigmaw=.01');
legend('ideal signal', 'noisy signal', 'estimated signal', 0);
axis([0 500 -2 8]);
xlabel('time [s]');
ylabel('Amplitude [V]');

要处理第二种情况（状态模型未知，状态噪声方差为 0.64），只需将 sigmaw 的值改为 0.64 并重复上述代码中的循环和绘图部分。

对于结果评论，一般来说，状态噪声方差较小时（如 0.1），估计信号会更接近理想信号；而状态噪声方差较大时（如 0.64），估计信号与理想信号的偏差可能会更大。

36、编写一个MATLAB代码，说明两个基本信号参数（频率带宽B和脉冲长度T）对匹配滤波器性能的影响。考虑一个以12 kHz采样的线性调频信号，分以下两种情况： - 频率在3500 Hz到4000 Hz之间线性扫频（B = 500 Hz），脉冲长度T = 25 ms； - 频率在500 Hz到5000 Hz之间线性扫频（B = 4500 Hz），脉冲长度T = 50 ms。绘制这两种情况的自相关函数（不进行归一化），时间范围为 - 0.01 s到0.01 s，并解释所得结果。

% Fs: 采样频率，单位Hz
% pulselength: 脉冲长度，单位秒
Fs = 12000; 
pulselength = 0.025; 
t1 = (0:1/Fs:pulselength); 
fmin = 3500;
fmax = 4000; 
chirp1 = vco(sawtooth((2*pi/pulselength)*t1,1),[fmin/Fs,fmax/Fs]*Fs,Fs);

pulselength = 0.05; 
t2 = (0:1/Fs:pulselength); 
fmin = 500;
fmax = 5000; 
chirp2 = vco(sawtooth((2*pi/pulselength)*t2,1),[fmin/Fs,fmax/Fs]*Fs,Fs);

c_chirp1 = xcorr(chirp1,chirp1); 
c_chirp2 = xcorr(chirp2,chirp2); 

lc = length(c_chirp1); 
t1 = linspace((-lc/2+1)*1/Fs,(lc/2-1)*1/Fs,lc); 
subplot(211); 
plot(t1,c_chirp1); 
grid;
title('Autocorrelation of a chirp with T=25 ms, B=500 Hz ')
axis([-0.01 0.01 -200 200]); 
xlabel('time [s]'); 
ylabel('amplitude')

lc = length(c_chirp2); 
t2 = linspace((-lc/2+1)*1/Fs,(lc/2-1)*1/Fs,lc); 
subplot(212); 
plot(t2,c_chirp2); 
grid;
title('Autocorrelation of a chirp with T=50 ms, B=4500 Hz')
axis([-0.01 0.01 -100 400]); 
xlabel('time [s]'); 
ylabel('amplitude')

线性调频信号自相关函数的宽度约为1/B。第一种情况中，由于频率带宽较窄，自相关函数较宽；第二种情况中，频率带宽较大，自相关函数的主瓣很窄。自相关函数在原点处的幅度等于信号能量。由于两个信号幅度相同，它们能量的比值等于它们长度的比值，也可从图中得到。

高性能的匹配滤波器需要信号同时具有较大的时间长度和较宽的频率带宽。较大的时间长度可使检测概率最大化，同时保持较低的虚警概率；较宽的