8、系统动力学、稳定性与最优线性二次控制器设计

系统动力学、稳定性与最优线性二次控制器设计

1. 系统稳定性相关概念

在控制系统中，稳定性是一个核心概念。对于从 $(r, d)$ 到 $(u, y)$ 的传递矩阵，存在内部稳定性和外部稳定性的概念，在一定条件下，这两种稳定性是等价的。

设 $(A, B, C, D)$ 是系统 $G$ 的状态空间实现，$(A_c, B_c, C_c, D_c)$ 是系统 $H$ 的状态空间实现。若 $I + DD_c$ 可逆，则将 $(r, d)$ 映射到 $(e_1, e_2)$ 的 $2×2$ 传递矩阵 $\varGamma(G, H)$ 为：
[
\varGamma(G, H) =
\begin{bmatrix}
(I + GH)^{-1} & -G(I + HG)^{-1} \
H(I + GH)^{-1} & (I + HG)^{-1}
\end{bmatrix}
]

当 $I + DD_c$ 可逆，且 $\varGamma(G, H)$ 的四个元素都属于 $M(H_{\infty})$ 时，反馈系统（或系统对 $(G, H)$）被称为外部稳定。通常，系统的前馈矩阵 $D$ 为零，此时 $I + DD_c$ 的可逆性自然满足。这种外部稳定性的定义足以确保所有从不受控输入到输出的映射都是有界的。此外，在可镇定和可检测的附加假设下，外部稳定性和内部稳定性是等价的。

下面是一个简单的流程图展示稳定性判断的逻辑：

graph TD;
    A[I + DD_c是否可逆] -->|是| B[Γ(G,