为什么要做特征归一化/标准化？

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写在前面

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Feature scaling，常见的提法有“特征归一化”、“标准化”，是数据预处理中的重要技术，有时甚至决定了算法能不能work以及work得好不好。谈到feature scaling的必要性，最常用的2个例子可能是：

• 特征间的单位（尺度）可能不同，比如身高和体重，比如摄氏度和华氏度，比如房屋面积和房间数，一个特征的变化范围可能是$[1000,10000]$，另一个特征的变化范围可能是$[-0.1,0.2]$，在进行距离有关的计算时，单位的不同会导致计算结果的不同，尺度大的特征会起决定性作用，而尺度小的特征其作用可能会被忽略，为了消除特征间单位和尺度差异的影响，以对每维特征同等看待，需要对特征进行归一化。

• 原始特征下，因尺度差异，其损失函数的等高线图可能是椭圆形，梯度方向垂直于等高线，下降会走zigzag路线，而不是指向local minimum。通过对特征进行zero-mean and unit-variance变换后，其损失函数的等高线图更接近圆形，梯度下降的方向震荡更小，收敛更快，如下图所示，图片来自Andrew Ng。

  

对于feature scaling中最常使用的Standardization，似乎“无脑上”就行了，本文想多探究一些为什么，

• 常用的feature scaling方法都有哪些？
• 什么情况下该使用什么feature scaling方法？有没有一些指导思想？
• 所有的机器学习算法都需要feature scaling吗？有没有例外？
• 损失函数的等高线图都是椭圆或同心圆吗？能用椭圆和圆来简单解释feature scaling的作用吗？
• 如果损失函数的等高线图很复杂，feature scaling还有其他直观解释吗？

根据查阅到的资料，本文将尝试回答上面的问题。但笔者能力有限，空有困惑，能讲到哪算哪吧（微笑）。

常用feature scaling方法

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在问为什么前，先看是什么。

给定数据集，令特征向量为$x$，维数为$D$，样本数量为$R$，可构成$D\times R$的矩阵，一列为一个样本，一行为一维特征，如下图所示，图片来自Hung-yi Lee pdf-Gradient Descent：

feature scaling的方法可以分成2类，逐行进行和逐列进行。逐行是对每一维特征操作，逐列是对每个样本操作，上图为逐行操作中特征标准化的示例。

具体地，常用feature scaling方法如下，来自wiki，

• Rescaling (min-max normalization、range scaling)：
  $$x^{\prime }=a+\frac{(x-\min (x))(b-a)}{\max (x)-\min (x)}$$
  将每一维特征线性映射到目标范围$[a,b]$，即将最小值映射为$a$，最大值映射为$b$，常用目标范围为$[0,1]$和 [ − 1 , 1 ] [-1, 1]