【洛谷】P4167 [Violet]樱花

最新推荐文章于 2025-11-12 17:33:11 发布

原创最新推荐文章于 2025-11-12 17:33:11 发布 · 222 阅读

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本文分析了求解方程1/x + 1/y = 1/(n!)中x,y为正整数的解的数量问题。通过数学变换将原方程简化，并利用质因数分解的方法计算解的数量。代码使用C++实现，包括预处理质数和解的计算。

题面

又懒得弄题面，开个传送门吧

分析

我们先把方程写出来

$\frac {1}{x}+\frac {1}{y}=\frac {1}{n!}$

现在我们知道的条件是x,y都是正整数, 所以我们考虑单独通过式子的变换将x,y表示出来，表示出来的式子算出来也一定是个整数

$\frac {1}{x}+\frac {1}{y}=\frac {1}{n!}$

$\frac {1}{x}=\frac {1}{n!}-\frac{1}{y}$

$\frac {1}{x}=\frac {y-n!}{n!\times y}$

$x=\frac {n!\times y}{y-n!}$

那么 $\frac {n!\times y}{y-n!}$ 一定是一个整数

分母不太好看，不利于观察，所以假设 $a = y - n!$ ,那么 $y = a + n!$

那么原方程可以化简为

$x=\frac {n!\times (a+n!)}{a}=\frac {n!\times a+n!\times n!}{a}=n!+\frac {n!\times n!}{a}$

所以，如果 $a$ 是 $n!\times n!$ 的约数，根据 $y = a + n!$ 与 $x=n!+\frac {n!\times n!}{a}$ 可以知道x,y都是正整数

所以 $n!\times n!$ 有多少个约数就有多少组解，直接分解质因数然后乘法原理计算就好了

Code

#include<cstdio>
int n,p[1000005],unp[1000005],mn[1000005],mp[1000005];
void prework()
{
    unp[1]=1;
    for(int i=2;i<=1000000;i++)
    {
        if(!unp[i])p[++p[0]]=i,mn[i]=p[0];
        for(int j=1;1ll*p[j]*i<=1000000;j++)
        {
            unp[p[j]*i]=1;mn[p[j]*i]=j;
            if(i%p[j]==0)break;
        }
    }
}
int main()
{
    prework();scanf("%d",&n);
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        int x=i;
        while(x>1)mp[p[mn[x]]]++,x/=p[mn[x]];
    }
    int ans=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)ans=1ll*ans*(mp[i]*2+1)%1000000007;
    printf("%d\n",ans);
}