5、标量场的高效拓扑简化

标量场的高效拓扑简化

在标量场处理中，高效的拓扑简化至关重要。它不仅能帮助我们更好地理解数据的本质特征，还能在保证数据质量的前提下，减少计算量和存储需求。本文将详细介绍一种标量场拓扑简化的方法，包括其基本原理、算法实现以及收敛性分析。

1. 预备知识

我们考虑定义在可定向 PL 2 - 流形 $M$ 上的 PL Morse 标量场 $f: M \to \mathbb{R}$。

1.1 标量场的一般简化

• 定义 ：给定 PL 标量场 $f: M \to \mathbb{R}$ 及其临界点集合 $C_f$，$f$ 的一般简化是指一个 PL 标量场 $g: M \to \mathbb{R}$，使得 $g$ 的临界点构成 $C_f$ 的一个子集，即 $C_g \subseteq C_f$（索引和位置相同）。通常，为了数据拟合的目的，还希望 $| f - g |_1$ 最小化。
• 可能的去除情况
  • 封闭曲面 ：根据 Morse - Euler 关系，$\chi(M) = \sum_{i\in{0,1,2}} (-1)^i |C_i^f| = #\min(f) - #\text{saddles}(f) + #\max(f)$。这意味着去除一个极值点会导致去除一个鞍点，反之亦然。并且，$f$ 恰好有 $2g(M)$ 个不可去除的鞍点，位于曲面的 $g(M)$ 个手柄上。
  • 带边界的曲面 ：除了上述性质外，对于每个边界分量 $B \s