3、拓扑抽象：持久同调、Reeb图与Morse - Smale复形

拓扑抽象：持久同调、Reeb图与Morse - Smale复形

1. 持久同调的背景与定义

在流场模拟中，如冯·卡门涡街的正交旋度分量模拟，会存在极小值（蓝色）和极大值（绿色）。提取PL标量场的临界点时，由于数据生成过程中的噪声（如采集噪声、模拟中的数值噪声），会导致提取的临界点包含一些由噪声引起的轻微函数波动对应的点。为了使临界点提取在实际中可靠且有用，需要一种机制将临界点进一步分类为噪声或信号，这就是持久同调的目的。

• 过滤（Filtration） ：设$f: K \to R$是定义在单纯复形$K$上的单射标量场，对于每个单形$\sigma$的每个面$\tau$，有$f(\tau) < f(\sigma)$。设$n$是$K$的单形数量，$L_{\alpha}(i)$是$f$按单形值排序后的第$i$个值对应的子水平集。嵌套的子复形序列$L_{\alpha}(0) \subseteq L_{\alpha}(1) \subseteq \cdots \subseteq L_{\alpha}(n - 1) = K$称为$f$的过滤。
• 同态（Homomorphism） ：同态是群之间与群运算可交换的映射。例如，$p$ - 链群的群运算是$p$ - 单形的形式和。

过滤一个标量场$f$会在$K$的子复形的同调群之间诱导出一系列同态：
$H_p(L_{\alpha}(0)) \to H_p(L_{\alpha}(1)) \to \cdots \to H_p(L_{\alpha}(n - 1)) = H_p(K)$

2. 持久同调群