60、线性方程组算法中的稀疏矩阵Cholesky分解及相关实现

线性方程组算法中的稀疏矩阵Cholesky分解及相关实现

在解决线性方程组的算法中，稀疏矩阵的Cholesky分解是一个重要的研究领域。本文将详细介绍稀疏矩阵Cholesky分解的存储方案、并行实现以及相关的练习题。

1. 稀疏矩阵的存储方案

对于稀疏矩阵的存储，我们引入了一些额外的数组来实现更紧凑的存储方案。
- StartRow数组 ：StartRow[j]存储列j中第一个非零元素所在行的Row数组的索引，即Row[StartRow[j]] = j ，因为ljj是第一个非零元素。对于同一超级节点中的不同列，其行索引存储在Row数组的连续块中，且这些块会根据列的稀疏结构重叠。
- Supernode数组 ：用于管理超级节点。如果列j是超级节点J的第一列，那么Supernode[j]存储超级节点J的列数。

通过这些数组，我们可以更高效地存储稀疏矩阵的信息，并且可以快速访问集合Struct(L∗j)：
Struct(L∗j) = {Row[StartRow[j]+i] | 0 ≤ i ≤ StartColumn[j + 1] - StartColumn[j - 1]}

2. 稀疏Cholesky分解的并行实现

在共享内存机器上进行稀疏Cholesky分解的并行实现时，有多种并行源可供利用，包括单操作内的细粒度并行性以及左看、右看和超级节点算法中的列导向并行性。此外，矩阵的稀疏结构还可能带来额外的并行性。

2.1 消除树

为了描述不同列之间的数据依赖关系，我们引入了消除树。对于每列j（0 ≤