55、带状结构线性系统的直接解法

带状结构线性系统的直接解法

在科学和工程计算中，常常会遇到线性方程组的求解问题。其中，具有带状结构的线性方程组是一类特殊且常见的方程组，在许多实际应用中都会出现，比如在求解泊松方程时得到的线性方程组就具有带状结构。本文将详细介绍求解这类方程组的几种方法，特别是针对三对角系统的解法。

1. 带状结构线性方程组概述

当我们对泊松方程进行离散化处理后，得到的线性方程组具有如下结构：
[
\frac{1}{h^2}
\begin{pmatrix}
B & -I & 0 & \cdots & 0 \
-I & B & -I & \cdots & 0 \
0 & -I & B & \cdots & 0 \
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & -I \
0 & 0 & 0 & -I & B
\end{pmatrix}
\cdot z = d
]
其中，$I$ 是 $N \times N$ 的单位矩阵，其对角元素为 1，其余元素为 0；矩阵 $B$ 的结构为：
[
B =
\begin{pmatrix}
4 & -1 & 0 & \cdots & 0 \
-1 & 4 & -1 & \cdots & 0 \
0 & -1 & 4 & \cdots &