9、密码学中的关键概念与协议解析

密码学中的关键概念与协议解析

1. 基本概念

在密码学领域，有许多基础且关键的概念。
- GAP ：在二进制序列中，长度为 k 的间隙（GAP）指的是由 1 包围的 k 个连续 0 的集合。
- 广义梅森素数（Generalized Mersenne Prime） ：形式为 (p = f(2^m)) 的素数，其中 (f(t)) 是具有小整数系数的低次多项式。在公钥密码学中，使用广义梅森素数进行模运算可以非常快速。例如，当 (p = 2^{192} - 2^{64} - 1) 时，(f(t) = t^3 - t - 1)。对于正整数 (c = \sum_{i = 0}^{5} c_i \cdot 2^{64i})，可以通过特定的规则将其模 (p) 约简。具体规则如下：
- 首先，定义 (s_0 = (c_2 c_1 c_0))，(s_1 = (0 c_3 c_3))，(s_2 = (c_4 c_4 0))，(s_3 = (c_5 c_5 c_5))。
- 然后，(c \equiv s_0 + s_1 + s_2 + s_3 \pmod{p})。
- 生成元（Generator） ：群中的元素 (g) 若能通过 (g, g^2, g^3, \cdots) 遍历群中的所有元素，则称 (g) 为该群的生成元。在模整数 (n) 的乘法群中，生成元也被称为 (n) 的原根。生成元是一些密码系统的重要参数，如迪菲 - 赫尔曼密钥交换协议和数字签名标准。

2. 签名与加密方案

• GMR 签名方案（GM