欧几里得算法&扩展欧几里得算法

FIRST:先谈一谈欧几里得算法

即辗转相除法，百度定义：用较小的数除较大的数，再利用出现的余数（第一余数）去除除数，再利用余数（第二余数）去除第一余数直到余数为0

gcd(a,b)是a,b的最大公约数且gcd(a,0) = a。

注意：gcd为最大公约数，所以不可能是负数

经过一系列查找博客等我的理解：进行gcd(a,b)=gcd(b,a%b) （a = kb + r a=mc，b=nc）直到能整除找到最大公约数

a*b = 最大公约数乘以最小公倍数

模板。。。

/*递归*/
int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0)
        return a;
    return 
        gcd(b,a%b);
}



/*****************************/


int gcd(int a,int b)  
{ 
	return b ? gcd(b,a%b) : a;
} 



/*while*/


int gcd(int a, int b)
{
    while(b != 0)
    {
    　　int r = b;
    　　b = a % b;
    　　a = r;
    }
    return a;
}

second:扩展欧几里德算法

对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

a%b=a-(a/b)*b；带入：

b*x1 + (a-(a/b)*b)*y1

= b*x1 + a*y1 – (a/b)*b*y1

= a*y1 + b*(x1 – a/b*y1) = gcd   发现 x = y1 , y = x1 – a/b*y1

模板：及模板题双六

题目：一个双六上面有向前向后无限延续的格子，每个格子都写

有整数。其中0号格子是起点，1 号格子是终点。而骰子上只有a,b,-a,-b四个整数，

所以根据a和b的值的不同，有可能无法到达终点。现在的问题是掷出a,b,-a,-b各

多少次可以达到终点呢？

         

输入：一行，包含两个数 a 和 b，两数之间用一个空格分隔，含义如题目所述。

 

输出：四个整数ab-a-b

如果无解则输出 0 。

 

输入示例：4 11

 

输出示例：3 0 0 1

 

 

/*模板*/
int extgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	int d = a;
	if(b!=0)
	{
		d = extgcd(b,a%b,y,x);
		y-=(a/b)*x;
	}
	else{
		x = 1;y = 0;
	}
	return d;
}
/***双六答案****/
#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<math.h>
using namespace std;
int extgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	int d = a;
	if(b!=0)
	{
		d = extgcd(b,a%b,y,x);
		y-=(a/b)*x;
	}
	else{
		x = 1;y = 0;
	}
	return d;
}
int main()
{
	int a,b;
	scanf("%d%d",&a,&b);
	int x,y;
	if(extgcd(a,b,x,y)!=1)
		printf("imposble!");
	else{
		if(x>0)
		{
			printf("%d 0",abs(x));
		}
		else
		{
			printf("0 %d",abs(x));
		}
		cout<<" ";
		if(y>0)
		{
			printf("%d 0",abs(y));
		}
		else
		{
			printf("0 %d",abs(y));
		}
	}
	
	return 0;
}

third：应用1解不定方程

题目链接：GO

1153: [视频]扩展欧几里德算法

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题目描述

【题意】
解不定方程Ax+By=K（得到的x和y只是其中一组解）
给出A、B、K，求出x和y，满足Ax+By=K。

【输入格式】
一行三个整数 A，B，K。 1 ≤ A，B，K ≤ 10^9 

【输出格式】
一行两个整数 x,y。如果无解，输出"no solution!"

【样例输入】
12 15  3

【样例输出】
-1 1

ax+by=gcd(a,b)

-->akx+bky=kgcd(a,b)

-->ax′+by′=c

-->ax+by=c

#include<stdio.h>
#include<iostream>
using namespace std;
long long extgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
	long long d =a;
	if(b != 0)
	{	
		d = extgcd(b,a%b,y,x);
		y -= (a/b)*x;
		
	}
	else{
		x = 1;y = 0;
	}
	return d;
}
int main()
{
	long long a,b,k;
	while(scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&k)!=EOF)
	{
		long long x,y;
		long long d = extgcd(a,b,x,y);
		if(k%d!=0)
		{
			printf("no solution!\n");
		}
		else{
			x = x*k/d;
			y = (k - a*x)/b;
			cout<<x<<" "<<y<<endl;
		}
	}
	return 0;
}

next:同余方程

我们需要注意的一点是，我们得到的总是通解，当我们需要求最小非负数解时.需要进行如下变换。

x 转最小非负整数解：
t=B/gcd

x=(x%t+t)%t
举例：
初始：x=-1 y=1
2x+7y=5
t=B/gcd=7/1=7
最后：x=6 y=-1

贴个例题：链接：GO



1154: [视频]同余方程（模版）

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题目描述

【题意】
已知a,b,m,求x的最小正整数解，使得ax=b(mod m)
【输入格式】
一行三个整数 a，b，m。 1 ≤ a,b,m ≤ 10^9 
【输出格式】
一行一个整数x，无解输出"no solution!"
【样例输入】
2 5 7
【样例输出】
6

#include<stdio.h>
#include<iostream>
using namespace std;
long long extgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
	long long d =a;
	if(b != 0)
	{	
		d = extgcd(b,a%b,y,x);
		y -= (a/b)*x;
		
	}
	else{
		x = 1;y = 0;
	}
	return d;
}
int main()
{
	long long a,b,k;
	while(scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&k)!=EOF)
	{
		long long x,y;
		long long B = k,K = b,A = a;
		long long d = extgcd(A,B,x,y);
		if(K%d!=0)
		{
			printf("no solution!\n");
		}
		else{
			x = x*K/d;
			long long t = B/d;
			cout<<(x%t+t)%t<<endl;
		}
	}
	return 0;
}