【PAT甲级】1049 Counting Ones (30)

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#数学规律

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本文介绍了一种高效算法，用于计算从1到任意正整数N之间所有整数中数字1出现的总次数。通过将整数分解成高位、当前位和低位三部分，并分析每部分对1的出现次数的影响，提出了解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接

The task is simple: given any positive integer N, you are supposed to count the total number of 1's in the decimal form of the integers from 1 to N. For example, given N being 12, there are five 1's in 1, 10, 11, and 12.

Input Specification:

Each input file contains one test case which gives the positive N (<=2^30^).

Output Specification:

For each test case, print the number of 1's in one line.

Sample Input:

Sample Output:

思路：解题思路

结论：

每个位上出现1的次数与before有关，且至少有before*pow(10,w)个，这里w是after的位数。例如222，三位数，求的是十位上的数字为1的数字出现的次数，百位跟十位已经确定了有三种情况，这里after为1位数，即可以从0变化到9即有10种可能，例如百位+十位为01，则有010 011 … 019这十种可能。
每个位上出现1的次数还与该位上的数字d有关，如果d>1,则上述总结1还要加一种可能，即有（before+1）*pow(10,w)个。例如222：即如果202，至少可取01 11，例如222 d=2>1，还可以取21，且也可以把21后面的取完。
每个位上出现1的次数还与该位上的数字d有关，如果d=1,则有before*pow(10,w)+（after+1）个。例如222，212，202，百位+十位至少都可以取01 11，然后对于d=1，即212，还可以取210 211 212这三种情况。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <queue>
#include <map>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <sstream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define rep(i,a,n) for(int i=a;i<n;i++)
#define mem(a,n) memset(a,n,sizeof(a))
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const ll INF=0x3f3f3f3f;
const int N = 2e3+5;

int main() {
    int n;
    cin>>n;
    int after=0,w=0,sum=0;
    while(n>0) {
        ///求出每个位置的before, d, after
        int before=n/10;
        int d=n%10;
        ///d>1时
        sum+=(before+((d>1)?1:0))*pow(10,w);
        ///d==1时
        if(d==1) sum+=after+1;
        ///更新下一轮的after和w
        after=d*pow(10,w)+after;
        w++,n/=10;
    }
    cout<<sum<<endl;
    return 0;
}