容斥【玲珑杯】咸鱼值

最新推荐文章于 2021-08-06 13:08:23 发布

LauZiyang

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分类专栏：容斥原理爱数学的好孩子文章标签：算法

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Description
众所周知zhu是一个大厨，zhu一直有自己独特的咸鱼制作技巧.
tang是一个咸鱼供应商，他告诉zhu在他那里面有N条咸鱼（标号从1到N）可以被用来制作.
每条咸鱼都有一个咸鱼值Ki，初始时所有Ki都是0.
zhu是一个特别的人，他有M个咸数（咸鱼数字）, 对于每个咸数x，他都会让所有满足标号是x倍数的咸鱼的咸鱼值异或上1.
zhu现在想知道经过了这M个咸数的筛选之后，最终有多少条的咸鱼的咸鱼值是1?
Input
输入的第一行包含一个整数T(1≤T≤1000)，表示有T组数据.
对于每组数据：
输入第一行只有两个整数N(1≤N≤10^9)，M(1≤M≤15).
接下来一行有M个整数，依次对应zhu的每个咸数(1≤咸数≤2∗10^5).
Output
对于每组数据，输出答案.
Sample Input
2
10 1
3
10 1
1
Sample Output
3
10
入门级容斥？
但是不是的，她虽然简单毕竟你看到了ZHU
ZHU爷会水题？
最开始奇加偶减过了样例自信交
然后WA了
仔细思考我实际求得是倍数的个数

网上高人的都是找规律我给出一个证明好了
$∑i=1k(ki)(−1)i+12i−1\sum_{i=1}^{k}{k \choose i}(-1)^{i+1}2^{i-1}$ = $∑i=1k(ki)(−2)i−1\sum_{i=1}^{k}{k \choose i}(-2)^{i-1}$
$=1−2∑i=1k(ki)(−2)i=\frac{1}{-2}\sum_{i=1}^{k}{k \choose i}(-2)^{i}$
$=−(k0)(−2)0+∑i=0k(ki)(−2)i−2=\frac{-{k \choose 0}(-2)^0+\sum_{i=0}^{k}{k \choose i}(-2)^{i}}{-2}$ (这一步到下一步我用了数学归纳法证明)
$=−1+(−2+1)k−2=\frac{-1+(-2+1)^{k}}{-2}$
$=1−(−1)k2=\frac{1-(-1)^{k}}{2}$
$\nmid k]$
实际上容斥系数也可以DP
在这里插入图片描述
实际上就是这样 $On^{2}$ 处理是万能的

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef int INT;
#define int long long
int F[21]; 
int A[21];
int C[21][21];
int n,m;
int ans=0;
void DFS(int x,int sum,int cnt){
	if(sum>n)return;
	if(x==m+1){
		ans=ans+F[cnt]*(n/sum);
		return;
	}
	int tmp=sum/(__gcd(A[x],sum))*A[x];
	DFS(x+1,tmp,cnt+1);
	DFS(x+1,sum,cnt);
}
INT main(){
	C[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=20;++i){
		C[i][0]=1;
		for(int j=1;j<=i;++j){
			C[i][j]=C[i-1][j]+C[i-1][j-1];
		}
	}
	F[1]=1;
	for(int i=2;i<=20;++i){
		F[i]=i&1;
		for(int j=1;j<i;++j){
			F[i]-=F[j]*C[i][j];
		}
	}
	int Cas;
	cin>>Cas;
	while(Cas--){
		cin>>n>>m;
		for(int i=1;i<=m;++i)cin>>A[i];
		DFS(1,1,0);
		cout<<ans<<'\n';
		ans=0;
	}
}