CDOJ1544 [“玲珑杯” 线上赛Round #17 B] 当咸鱼也要按照基本法（容斥原理 凑系数）

(CDOJ1544 [“玲珑杯” 线上赛Round #17 B] 当咸鱼也要按照基本法

原题地址：
http://acm.uestc.edu.cn/#/problem/show/1544
http://www.ifrog.cc/acm/problem/1138

题意：
zhu有N条咸鱼（标号从1到N），每条咸鱼都有一个咸鱼值Ki，初始时所有Ki都是0.
zhu有M个咸数，对于每个咸数x，他都会让所有满足标号是x倍数的咸鱼的咸鱼值异或上1.
zhu现在想知道经过了这M个咸数的筛选之后，最终有多少条的咸鱼的咸鱼值是1?

数据范围
1≤T≤1000，1≤N≤1e9，1≤M≤15，1≤咸数≤2∗1e5

题解：
原题意即：
给定m 个数a1…am, 统计[1，n] 的整数中, 满足a1…am 中有奇数个数整除它的数的个数。
N很大，而M才15，要从M下手，
易得到至少整除集合s的数的个数，考虑容斥。
当然这要求有奇数个数整除它，容斥系数似乎不大好确定。

根据要求得到关于容斥系数的式子：

$$\sum\limits_{i=0}^k(^k_i)f_i = k\ mod \ 2$$

$f(i)$可以$m^2$推。（当然打表或者手推可以发现是$f_i = [i \neq 0](-2)^{i-1}$）
然后$2^m$枚举子集乘上相应的容斥系数，直接容斥即可。

（longlong不开WA一天）

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define LL long long
using namespace std;
const int N=20;
int T,m,f[N],C[N][N],a[N];
int cnt[100005],lg[100005];
LL n,lcm[100005],ans=0;
LL gcd(LL x,LL y) {return y==0?x:gcd(y,x%y);}
int main()
{
    scanf("%d",&T);
    for(int i=0;i<=16;i++) lg[1<<i]=i;
    for(int i=0;i<=16;i++) for(int j=0;j<=i;j++) if(j==0||i==j) C[i][j]=1;else C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j];
    f[1]=1;
    for(int i=2;i<=16;i++)
    {
        int s=0; for(int j=1;j<i;j++) s+=C[i][j]*f[j];
        f[i]=i%2-s;
    }
    while(T--)
    {
        scanf("%lld%d",&n,&m);
        for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d",&a[i]);
        int top=1<<m; ans=0;
        for(int s=1;s<top;s++)
        {
            int x=(s&(-s)); int ss=s^x;
            if(!ss) {cnt[s]=1; lcm[s]=1LL*a[lg[x]+1];}
            else if(lcm[ss]==-1) {lcm[s]=-1; cnt[s]=cnt[ss]+1; continue;}
            else {cnt[s]=cnt[ss]+1; lcm[s]=1LL*lcm[ss]*(1LL*a[lg[x]+1]/gcd(lcm[ss],1LL*a[lg[x]+1]));}
            ans+=1LL*f[cnt[s]]*1LL*(1LL*n/lcm[s]);
            if(lcm[s]>n) lcm[s]=-1;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}