如何计算整数平方根

最新推荐文章于 2022-08-22 22:24:29 发布

fanzitao

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算法1.猜试法

利用等差级数公式:

这样的话, 从1开始一直算到数列的前项和第一次大于x的时候,即是所求。

unsigned linear_search(unsigned long x)
{
    unsigned long sum_n = 1;
    unsigned n = 1;

    if(x <= 1)
    {
        return x;
    }

    while(sum_n <= x)
    {
        n++;
        sum_n += (n<<1) - 1;
    }

    return (n-1);

}

这种方法无异于穷举法，其唯一的优点是：每次的迭代用到了前面迭代的结果，所以会有一些效率的增益。对于该算法的改进就是不穷举，改用我们熟悉的二分查找法来做。

#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;

int squareRoot(int n)
{
	int low = 1;
	int high = n;
	while(low<=high)
	{
		int mid = (low+high)/2;
		if(mid*mid == n)
			return mid;
		else if(mid*mid < n)
		{
			low = mid+1;
		}else{
			high = mid;
		}
	}
	return -1;
}
int main()
{	cout<<squareRoot(121)<<endl;
	getchar();
	return 0;
}

算法2 Newton 法

把这个问题转换为方程求根问题，即:，求x。

而方程求根的问题可以用Newton 法来解决。现在的问题有一点不同，即所求的根必须是整数。通过证明，我们可以发现，Newton迭代公式是适用于整数情况的，于是有：

至于是怎么证明的，可以参考hacker’s delight。

另外，初值的选择也是很重要的一环，这里我们选择大于等于的最小的2的幂次数。

OK，下面给出程序：

unsigned newton_method(unsigned long x)
{
    unsigned long x1 = x - 1;
    unsigned s = 1;
    unsigned g0,g1;

    /* 初值设定 */
    if (x1 > 65535) {s += 8; x1 >>= 16;}
    if (x1 > 255)   {s += 4; x1 >>= 8;}
    if (x1 > 15)    {s += 2; x1 >>= 4;}
    if (x1 > 3)     {s += 1; x1 >>= 2;}

    /*迭代*/
    g0 = 1 << s;
    g1 = (g0 + (x >> s)) >> 1;
    while(g1 < g0)
    {
       g0 = g1;
       g1 = (g0 + x/g0) >> 1;
    }
    return g0;
}

算法3 逐比特确认法

逐比特确认法认为一个32位整数求根，结果应该是一个16位整数。求这个16位整数，其实质是确认每位的比特是0还是1.我们把这个根分为两个相加的部分，一部分是已确认的值，另一部分是未确认的值。从高位到低位，每次迭代确认一位。初始时，已确认部分为0。则问题的初始形式为：

算法发明者为：James Ulery 论文:Computing Integer Square Roots

unsigned bitwise_verification(unsigned long x)
{

   unsigned long temp = 0;
   unsigned v_bit = 15;
   unsigned n = 0;
   unsigned b = 0x8000;

   if (x <= 1)
       return x;

   do{
       temp = ((n << 1) + b) << (v_bit--);
       if (x >= temp)
       {
           n += b;
           x -= temp;
       }
   }while (b >>= 1);
   
   return n; 
}

性能比较

在0~1000000范围内对四种算法进行了遍历性的测试，得到测试结果：

显见四种算法的遍历性能以逐比特确认法为最好，逐比特确认法从本质上来说是一种二分查找法，而且其查找范围为整个16位整数域；而我们实现的二分查找法的查找范围到已知变量为止，从范围上来说比逐比特确认法来得小，但是最后平均性能却不及逐比特确认法。其原因在于：逐比特确认法把问题分解为相同的子问题的集合，采用递推的方法，很好地利用了前面步骤的结果，不用什么都从头算起，从而避免了重复劳动，用加减法和移位操作代替了乘除法操作，最终获得了性能上的增益。