求开平方

定义

  所谓整数平方根即。

算法

  算法1.猜试法

利用等差级数公式:        

                
  这样的话, 从1开始一直算到数列的前项和第一次大于x的时候,即是所求。下面给出source code(C): 

unsigned linear_search(unsigned  long x)
{
    unsigned  long sum_n =  1;
    unsigned n =  1;

     if(x <=  1)
    {
         return x;
    }

     while(sum_n <= x)
    {
        n++;
        sum_n += (n<< 1) -  1;
    }

     return (n- 1);

}

 

  这种方法无异于穷举法，其唯一的优点是：每次的迭代用到了前面迭代的结果，所以会有一些效率的增益。对于该算法的改进就是不穷举，改用我们熟悉的二分查找法来做。

 

unsigned bi_search(unsigned  long x)
{
    unsigned  long sum_n =  0;
    unsigned n = (x >>  1);
    unsigned top = x;
    unsigned bottom =  0;

     if (x <=  1)
    {
         return x;
    }

     for (;;)
    {
        sum_n = n * n;
         if (sum_n < x)
        {
          bottom = n;
          n += ((top - bottom) >>  1);
           if (n == bottom)
               return n;
        }
         else 
         if (sum_n > x)
        {
          top = n;
          n -= ((top - bottom) >> 1);
           if (n == top)
               return n- 1;
        }
         else
        {
             return n;
        }
    }

}

 

算法2 Newton 法

把这个问题转换为方程求根问题，即:，求x。

 而方程求根的问题可以用Newton 法来解决。现在的问题有一点不同，即所求的根必须是整数。通过证明，我们可以发现，Newton迭代公式是适用于整数情况的，于是有：

                  
至于是怎么证明的，可以参考hacker’s delight。

另外，初值的选择也是很重要的一环，这里我们选择大于等于的最小的2的幂次数。

OK，下面给出程序：

 

unsigned newton_method(unsigned  long x)
{
    unsigned  long x1 = x -  1;
    unsigned s =  1;
    unsigned g0,g1;

     /*  初值设定  */
     if (x1 >  65535) {s +=  8; x1 >>=  16;}
     if (x1 >  255)   {s +=  4; x1 >>=  8;}
     if (x1 >  15)    {s +=  2; x1 >>=  4;}
     if (x1 >  3)     {s +=  1; x1 >>=  2;}

     /* 迭代 */
    g0 =  1 << s;
    g1 = (g0 + (x >> s)) >>  1;
     while(g1 < g0)
    {
       g0 = g1;
       g1 = (g0 + x/g0) >>  1;
    }
     return g0;
}

浮点数：

首先是最普通的CRT里自带的sqrt，只需要引用math.h就可以使用了：

[cpp]  view plain copy print ?

1. #include <math.h>  
2. result = sqrt(number);  

 

 

接下来是传统的牛顿迭代法，我们计算开方的时候就是手工不断尝试每一位最合适的数字，然后一步步收敛求得更精确的答案。牛顿迭代法就是通过折半来快速收敛，每迭代一次就得到更精确的结果，下面这段程序采用的是迭代10次的牛顿迭代法：

[cpp]  view plain copy print ?

1. float newtonSqrt(float a){  
2.   int i;  
3.   float x;  
4.   x=a;  
5.   for(i=1;i<=10;i++)  
6.     x=(x+a/x)/2;  
7.   return x;  
8. }