日拱一卒之格林函数／共轭转置

日拱一卒之格林函数／共轭转置

比较吐血的是，前一阵子理解的东西又又又吐出来了，难道是年纪大了？

稍后做一下回顾好了，既然理解过，应该再捡起来不难吧，可能学习的过程不就是个不断重复的过程，孔老夫子都说过，温故而知新，做好笔记，以后没事多翻翻。

关于格林函数

定义的解释

主要回答了一个标准问题： “如果在位置 A 发生了一个单位强度（强度=1）的脉冲，位置 B 会收到什么样的信号？” 它只跟位置和频率有关，跟实际有没有源、源有多强无关。哪怕没有源，格林函数依然客观存在。

数学本质：它是“传播算子”

数学本质：它是“传播算子”

在数学上，格林函数是一个线性映射。

$\text{场}(b)=\text{格林函数}(G)\times \text{源强度}(x)$

线性叠加：因为电磁波满足线性叠加原理，所以我们可以把复杂的源拆成一个个像素点，分别算传播，最后加起来。这就是为什么它能写成矩阵乘法。

物理特征：涟漪与衰减

在二维或三维空间中，格林函数（时谐场）通常表现为：

1. 幅度（模值 **$|G|$**​ ） ：随着距离 $r$ 增加而衰减（比如二维是 $1/\sqrt{r}$）。离得越远，信号越弱。
2. 相位（实部 **$\text{Re}(G)$**​ ） ：随着距离 $r$ 增加而震荡。表现为向外扩散的波纹（涟漪）。
3. 奇点：在源的位置（$r=0$），格林函数的值趋于无穷大（或极大值），因为源头能量最强。

格林函数就是空间中“单位波源”产生的“标准波纹”，它是连接“源（因）”和“场（果）”的数学桥梁。

个人理解，其实对于点源来说，格林函数就是这个点源在空间内的场分布，而现实世界不存在理想点源，而场刚好满足线性叠加，所以就是很多点源在空间中场的叠加。

那么。。。画个图感受一下。这个就是点源的格林函数，主要包含了幅度相位。

深刻一点，多个点源的效果：

笑一个吧，格林函数就是这么个意思。

关于共轭转置

格林函数，代表了点源的场，那么。。。它的共轭转置代表什么呢？

简单来说，利用格林函数的共轭转置（$G^{\ast }$）反推源，本质上利用的是 “相位补偿” 和 “同相叠加” 原理。在物理上，这被称为时间反转（Time Reversal） 或相位共轭（Phase Conjugation） 。

通俗理解：时间反转（倒放录像）

想象在池塘中间（源位置 $S$）扔了一颗石头：

1. **正向 (​$G$**​ ) ：涟漪从中心扩散到岸边。岸边的多个传感器记录下了波动的信号。

   不同位置的传感器，收到信号的时间（相位）是不同的。离得近的先收到，离得远的后收到。

2. **反向推导 (​$G^{\ast }$**​ ) ：现在我们想根据岸边的记录找到中心 $S$。

   • $G^{\ast }$ 的作用：相当于把岸边传感器录下的视频倒着放。
   • 波纹从岸边出发，向中心收缩。
   • 关键点：只有在真正的源位置 $S$，所有倒流回来的波纹才会同时到达，能量叠加到最大（形成一个巨浪）。
   • 在其他错误的位置，有的波纹先到，有的后到，互相抵消（干涉），能量很弱。

$G^{\ast }$ 就是让信号“原路返回”，在源头处发生建设性干涉（Constructive Interference） 。

数学机制

假设只有一个源 $x$，一个接收器。

• 正向传播：信号经过距离 $R$ 传播，产生相位滞后 $\theta =kR$。

  $$\text{接收信号}b=1\cdot e^{-j\theta }$$

  (这里 $e^{-j\theta }$ 就是格林函数 $G$ 的简化版)

现在要反推源在哪里。遍历空间中每一个可能的点，试探它是不是源。

• 猜测点 A（也就是真实的源位置） ：

  它的格林函数 $G_A=e^{-j\theta }$。它的共轭转置 $G_A^{\ast }=e^{+j\theta }$（注意符号变正了，代表负延迟，即时间提前）。

  计算成像：

  $$I=G_A^{\ast }\cdot b=e^{+j\theta }\cdot e^{-j\theta }=e^0=1$$

  结果是实数且最大！ 相位完全抵消了。

• 猜测点 B（错误的位置） ：

  假设它对应的相位是 $\varphi$（与 $\theta$ 不同）。它的格林函数 $G_B=e^{-j\varphi }$。它的共轭转置 $G_B^{\ast }=e^{+j\varphi }$。

  计算成像：

  $$I=G_B^{\ast }\cdot b=e^{+j\varphi }\cdot e^{-j\theta }=e^{j(\varphi -\theta )}$$

  结果是一个复数，且如果有很多接收器叠加，这些乱七八糟的相位会互相抵消，模值很小。

MATLAB 极简演示：反向投影成像

clc; clear; close all;

%% 1. 场景设置
f = 1e9; c = 3e8; lambda = c/f; k = 2*pi/lambda;

% 定义成像区域 (猜测源可能在的地方)
L = 4; N = 80;
x_grid = linspace(-L/2, L/2, N);
y_grid = linspace(-L/2, L/2, N);
[X, Y] = meshgrid(x_grid, y_grid);
rx_grid = X(:); ry_grid = Y(:);
Num_pixels = length(rx_grid);

% 定义真实的源位置 (在右上角)
True_Source_Pos = [0.8, 0.8]; 

% 定义接收天线 (围成一圈)
theta = linspace(0, 2*pi, 30); % 30个天线
R_ant = 1.8;
Ant_x = R_ant * cos(theta(1:end-1))'; 
Ant_y = R_ant * sin(theta(1:end-1))';
Num_Ant = length(Ant_x);

%% 2. 正向过程 (生成测量数据 b)
% 计算真源到所有天线的距离
dist_true = sqrt((Ant_x - True_Source_Pos(1)).^2 + (Ant_y - True_Source_Pos(2)).^2);
% 测量到的信号 (Green Function * 1)
b_measured = (-1j/4) * besselh(0, 2, k * dist_true); 
% 给信号加一点噪声 (模拟真实环境)
b_measured = b_measured + 0.1 * (randn(size(b_measured)) + 1j*randn(size(b_measured)));

%% 3. 反向过程 (利用 G* 成像)
fprintf('正在利用 G* 进行反向聚焦...\n');

% 第一步：构建所有猜测点的格林函数矩阵 G_guess
% 矩阵大小：[天线数量 x 像素数量]
dx = Ant_x - rx_grid';  % 利用广播机制
dy = Ant_y - ry_grid';
dist_guess = sqrt(dx.^2 + dy.^2);
G_guess = (-1j/4) * besselh(0, 2, k * dist_guess);

% 第二步：核心算法！反向投影 (Back Projection)
% Image = G_guess' * b_measured
% 这里 G_guess' 就是共轭转置 G*
% 物理含义：把测量数据 b，按照共轭相位，加权分配回每一个像素点
Image_Vector = G_guess' * b_measured;

% 变回 2D 图片
Image_Recon = reshape(abs(Image_Vector), N, N);

%% 4. 绘图
figure('Color', 'w', 'Position', [100, 100, 1000, 400]);

subplot(1, 2, 1);
plot(Ant_x, Ant_y, 'kv', 'MarkerFaceColor', 'y', 'MarkerSize', 8); hold on;
plot(True_Source_Pos(1), True_Source_Pos(2), 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r', 'MarkerSize', 10);
axis equal; grid on; xlim([-L/2 L/2]); ylim([-L/2 L/2]);
title('真实场景');
legend('接收天线', '真实源位置');

subplot(1, 2, 2);
imagesc(x_grid, y_grid, Image_Recon);
hold on;
plot(Ant_x, Ant_y, 'kv', 'MarkerFaceColor', 'y', 'MarkerSize', 5);
colormap hot; colorbar; axis equal;
title('G* 反向推导结果 (能量聚焦)');
xlabel('x'); ylabel('y');

sgtitle('利用格林函数共轭转置 (G*) 寻找源');

结果：

额，像极了现在脑子里的一团脑花。。

原因一个是噪声太大了，另外一个是接收单元数过少，不太好看到，重新优化一下：

这个，就是反向投影算法的基本雏形。

那么，为什么共轭转置能够代表时间上的反转呢？

一句话核心答案：在频域物理中，相位（Phase）就是时间。共轭操作（Conjugate）把相位的符号取反了，就等于把时间倒流了。

**“​$j$**​ ” 代表了什么？ 在物理和工程（特别是电磁学）中，描述一个波动信号（比如正弦波）时，喜欢用欧拉公式：

$$e^{j(\omega t-\varphi )}$$

这里有两个关键变量：

1. $\omega t$：代表时间的流逝（时钟在走）。
2. $-\varphi$：代表延迟（Lag） 。

关键点来了：

• 当波从源头传到远处时，需要花时间，所以会产生延迟。

• 在数学上， **“延迟”表现为负的相位（​$-j\varphi$**​ ） 。

  比如：格林函数 $G\propto e^{-jkR}$。那个负号（$-$）就代表“过去发生的”、“滞后的”。

对格林函数 $G$ 做共轭（Conjugate） 操作。共轭的定义是：把虚部符号取反（$j$ 变成 $-j$，$-j$ 变成 $+j$）。

如果 $G=e^{-jkR}$（代表延迟、向外扩散），那么 $G^{\ast }=e^{+jkR}$。

这个 $+jkR$ 意味着什么？

• 在数学上：它代表正相位。
• 在物理上：它代表超前（Lead） ，或者叫负延迟。
• 在时间轴上： “负延迟”就是“时间倒流”。

共轭转置不仅仅是共轭，还有转置。

• 原矩阵 $G$ **(​$M\times N$**​ ) ：输入是源（$N$），输出是天线（$M$）。路径方向：源 $\to$ 天线。
• 转置矩阵 $G^T$ **(​$N\times M$**​ ) ：输入变成了天线（$M$），输出变成了源（$N$）。路径方向：天线 $\to$ 源。

为什么 $G^{\ast }\cdot b$ 能找到源？

两者结合起来，看看执行 Image = G' * b 时发生了什么：

假设接收到的信号 $b$ 是经过正向传播来的：

$$b=\underset{\text{传播造成的延迟}}{\underbrace{e^{-jkR}}}\cdot \text{源信号}$$

现在你用 $G^{\ast }$ 去乘它：

$$\text{结果}=\underset{\text{共轭(时间倒流)}}{\underbrace{e^{+jkR}}}\cdot \underset{\text{接收信号}}{\underbrace{(e^{-jkR}\cdot \text{源信号})}}$$

根据指数运算规则 ($e^A\cdot e^B=e^{A+B}$)：

$$\text{结果}=e^{(+jkR-jkR)}\cdot \text{源信号}=e^0\cdot \text{源信号}=1\cdot \text{源信号}$$

于是：

1. 正向传播带来的相位滞后（$-jkR$），被共轭算子带来的相位超前（$+jkR$）完美抵消了。
2. 净相位 = 0。这意味着时间被重置回了 $t=0$ 的时刻。
3. 这就好比：信号刚传出去跑了 100 米，你按了一个按钮，它又退回了 100 米，刚好回到出发点。