傅里叶变换（对称美）

傅里叶变换（对称美）

冲浪时发现的有趣文章，学习自https://zhuanlan.zhihu.com/p/718139299

摘下来的内容：

傅里叶变换之所以“怪美的嘞”，根本在于它有一种内在的对称性，这一点在上面的图并没有表现出来。

这种内在的对称性是什么呢？可以理解为：

频谱是时域信号在一个​**希尔伯特空间​中的连续正交归一基下展开的展开系数，于此同时，时域信号也是频谱在相同形式的希尔伯特空间中的连续正交归一基下的展开的展开系数。**

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比较直观的视频：https://www.youtube.com/watch?v=r4c9ojz6hJg&ab_channel=SimonXu

以前比较少关注这种对称的方式，也很少有这种连续的视频图，也能从一个侧面去了解傅里叶变换，这篇文章主要是着重对称性这个点，也算是加深一下自己的理解。写得很好。

文章二：https://zhuanlan.zhihu.com/p/40396861

为了“简单”而进行“分解”，为了更好的“分解”，人类又发明了“正交”的概念。何谓正交呢，它其实脱胎于“垂直”而又有更丰富的内涵。我们知道在垂直坐标系中，三个坐标轴的相互垂直的，这样的好处是各个轴向之间是独立的，互不干扰的。当然，这些描述都是定性的，对于严谨的数学家和工程师而言，这是不可接受的。于是，又有一个新的概念引入了:“内积”，当内积为零的时候，两个量就是正交的。

整理一下我们的思路：我们想要“简单”，要进行“分解”，想要更好的“分解”，要进行“正交化”，想要定量描述“正交化”，规定“内积”为零为“正交”。总的逻辑是这样的：简单→分解→正交→内积。

说了这么多，这和傅里叶分析有什么关系？现在我要告诉大家：傅里叶分析就是进行“正交分解”，不理解细节没关系，领会到了这个概念，就理解一半了。为了严谨（实际上很不严谨^_^），我们需要将逻辑关系反过来，先从内积说起。

在三维直角坐标系里面，任何一个坐标轴的方向上长度为$1$ 的向量称之为一个基，相互垂直的基称之为正交基：$（1,0,0）$ 代表$x$ 轴的基，$（0,1,0）$ 代表

$y$ 轴的基，$（0,0,1）$代表$z$ 轴的基。假设 $\bar{x}=（a_1,b_1,c_1）$,$\bar{y}=(a_2,b_2,c_2)$ ，规定内积为：
$\bar{y}=(a_2,$