8、量子纠缠理论入门

量子纠缠理论入门

1. 引言

量子纠缠自然地源于量子力学的数学形式。从物理角度看，这一特性令人惊讶，引发了物理学家们关于该形式有效性和意义的长期争论。近年来，纠缠被视为量子信息处理的资源，对绝对安全的密钥分配和量子计算很有用。

纠缠理论在过去二十年中发展出了丰富的数学结构，有许多微妙之处，并且借鉴了热力学、凸分析、信息论和群论等不同领域的思想和技术。尽管多年来取得了巨大进展，但在量子信息应用、数学挑战以及作为物理学一部分的基本作用等方面仍有许多令人兴奋的问题有待解决。

本文旨在尽可能清晰地介绍纠缠理论的主要概念，涵盖可分性、纠缠见证、局部操作和经典通信（LOCC）以及纠缠度量等内容。

2. 量子力学与态空间

为了快速回顾量子力学的形式体系，我们将直接介绍表达量子系统状态和演化的最通用方法，不过多涉及背后的物理动机。

2.1 态空间

在量子力学中，我们为物理对象的所有自由度关联一个希尔伯特空间 H。例如，电子的位置自由度用 L² 描述，自旋自由度用 C² 描述。某一时刻的特定系统由“态”来描述，态描述了系统的物理性质，即测量系统时会发生的情况。

数学上，态由密度矩阵 ρ 表示，它位于系统希尔伯特空间 H 上的算子空间中。密度矩阵满足以下条件：
- ρ† = ρ
- I₁ ≥ ρ ≥ 0
- Tr[ρ] = 1

所有满足上述性质的算子都可以描述物理系统的状态。我们将所有密度算子的空间称为态空间 S(H)，可以证明态空间是凸的，即密度矩阵的凸组合仍是密度矩阵。

所有密度矩阵都可以对角化为其特征基：
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