37、对流-扩散方程的稳定化公式化

对流-扩散方程的稳定化公式化

1 稳定化方法的重要性

在处理对流-扩散方程时，特别是在对流占优的情况下，标准的Galerkin有限元方法可能会导致数值解不稳定，出现非物理的振荡现象。为了避免这些问题，需要采用稳定化方法来改进数值解的质量。稳定化方法不仅能够提高解的稳定性，还能确保解的精度。常见的稳定化方法包括流线扩散法（SUPG）、Galerkin/最小二乘法（GLS）等。

2 对流-扩散方程的数学模型

对流-扩散方程的一般形式为：

[
\frac{\partial u}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla u - \nabla \cdot (\mu \nabla u) = f
]

其中，(u) 是待求解的物理量（如温度、浓度等），(\mathbf{v}) 是对流速度，(\mu) 是扩散系数，(f) 是源项。为了更好地理解对流-扩散方程的特点，我们可以将其分解为对流项和扩散项：

• 对流项 ：(\mathbf{v} \cdot \nabla u) 描述了物理量随流体流动的传输。
• 扩散项 ：(-\nabla \cdot (\mu \nabla u)) 描述了物理量在空间中的扩散。

在对流占优的情况下，即对流速度远大于扩散系数时，标准的Galerkin有限元方法容易产生数值振荡，因此需要引入稳定化方法。

3 流线扩散法（SUPG）

流线扩散法（Streamline Upwind