42、纳维-斯托克斯方程的有限元公式化：弱施加的基本边界条件

纳维-斯托克斯方程的有限元公式化：弱施加的基本边界条件

1 纳维-斯托克斯方程简介

纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations）是描述流体运动的基本方程，广泛应用于流体力学、航空工程、气象学等领域。这些方程是基于质量守恒、动量守恒和能量守恒定律推导出来的。对于不可压缩流体，纳维-斯托克斯方程通常表示为：

[
\frac{\partial (\rho \mathbf{u})}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u} \otimes \mathbf{u} - \sigma) - \rho \mathbf{f} = 0,
]
[
\nabla \cdot \mathbf{u} = 0,
]

其中，(\rho) 是流体密度，(\mathbf{u}) 是流体速度，(\mathbf{f}) 是单位质量的外力，(\sigma) 是应力张量，定义为：

[
\sigma(\mathbf{u}, p) = -pI + 2\mu \varepsilon(\mathbf{u}),
]

其中 (p) 是压力，(I) 是单位张量，(\mu) 是动力粘度，(\varepsilon(\mathbf{u})) 是应变率张量，定义为：

[
\varepsilon(\mathbf{u}) = \frac{1}{2} (\nabla \mathbf{u} + (\nabla \mathbf{u})^T).
]

2 弱施加边界条件的意义

弱施加边界条件（wea