86 dataS 决策树--比较排序的下界

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决策树排序的下界

如果决策树是针对n个元素排序，那么它的高度至少是 nlgn 。

在最坏情况下，任何比较排序算法都需要做 Ω(nlgn) 次比较。

因为输入数据的 Ann 种可能的排列都是叶结点，所以 Ann≤l ，由于在一棵高位h的二叉树中，叶结点的数目不多于 2h ，所以有：

n!≤l≤2h

对两边取对数：

=>  lg2h≥lgn!

=>  lg2h=hlg2≥lgn!

又因为：

lg2<1

所以：

n≥lgn!=Ω(nlgn)  （此处涉及对n阶乘的变换，需要使用斯特林公式）

因为堆排序和归并排序的运行时间上界均为 O(nlgn) ，因此它们都是渐近最优的比较排序算法。