poj 3233 Matrix Power Series(等比矩阵求和)

本文介绍了一种求解等比矩阵和的经典算法,并通过构造特定矩阵并利用矩阵快速幂来高效计算等比矩阵和。提供了完整的C++代码实现。

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poj 3233 Matrix Power Series


 求等比矩阵和:S = A + A2 + A3 + … + Ak

经典算法:

构造矩阵:

B= A E

      0  E

其中E为单位矩阵,和A同阶

然后矩阵快速幂计算B^(K+1)

即:

B^(k+1)= A^(k+1)    E+A^1+A^2+......+A^K

                  0                     E

PS:这NM不让我用tab么

也就是说这样求出来的矩阵的右上角的子矩阵减去一个单位矩阵E便是要求的S


#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define MAXN 70
#define ll long long
struct matrix
{
    ll m[MAXN][MAXN];
};
int n;
ll m;
matrix multi(const matrix &a,const matrix &b)
{
    matrix ans;
    memset(&ans,0,sizeof(ans));
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<n;j++)
            for(int k=0;k<n;k++)
            {
                ans.m[i][j]+=a.m[i][k]*b.m[k][j];
                ans.m[i][j]%=m;
            }
    return ans;
}
matrix pow(matrix a,int k)
{
    matrix ans;
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<n;j++)
            if(i==j)ans.m[i][j]=1;
            else ans.m[i][j]=0;
    while(k)
    {
        if(k&1) ans=multi(ans,a);
        a=multi(a,a);
        k>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    matrix a,ans;
    int k;
    while(scanf("%d%d%lld",&n,&k,&m)!=EOF)
    {
        memset(&ans,0,sizeof(ans));
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=0;j<n;j++)
            {
                scanf("%lld",&a.m[i][j]);
                a.m[i][j]%=m;
            }
        for(int i=n;i<(n<<1);i++)
            a.m[i-n][i]=a.m[i][i]=1;
        n=n<<1;
        ans=pow(a,k+1);
        n>>=1;
        for(int i=0;i<n;i++)
            ans.m[i][i+n]=(ans.m[i][i+n]-1+m)%m;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            printf("%lld",ans.m[i][n]);
            for(int j=1;j<n;j++)
                printf(" %lld",ans.m[i][j+n]);
            printf("\n");
        }
    }
    return 0;
}


以下是Java解决POJ3233矩阵幂序列问题的代码解释: ```java import java.util.Scanner; public class Main { static int n, k, m; static int[][] A, E; public static void main(String[] args) { Scanner sc = new Scanner(System.in); n = sc.nextInt(); k = sc.nextInt(); m = sc.nextInt(); A = new int[n][n]; E = new int[n][n]; for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { A[i][j] = sc.nextInt() % m; E[i][j] = (i == j) ? 1 : 0; } } int[][] res = matrixPow(A, k); int[][] ans = matrixAdd(res, E); printMatrix(ans); } // 矩阵乘法 public static int[][] matrixMul(int[][] a, int[][] b) { int[][] c = new int[n][n]; for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { for (int k = 0; k < n; k++) { c[i][j] = (c[i][j] + a[i][k] * b[k][j]) % m; } } } return c; } // 矩阵快速幂 public static int[][] matrixPow(int[][] a, int b) { int[][] res = E; while (b > 0) { if ((b & 1) == 1) { res = matrixMul(res, a); } a = matrixMul(a, a); b >>= 1; } return res; } // 矩阵加法 public static int[][] matrixAdd(int[][] a, int[][] b) { int[][] c = new int[n][n]; for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { c[i][j] = (a[i][j] + b[i][j]) % m; } } return c; } // 输出矩阵 public static void printMatrix(int[][] a) { for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { System.out.print(a[i][j] + " "); } System.out.println(); } } } ``` 解释: 1. 首先读入输入的n、k、m矩阵A,同时初始化单位矩阵E。 2. 然后调用matrixPow函数求出A的k次幂矩阵res。 3. 最后将resE相加得到结果ans,并输出。 4. matrixMul函数实现矩阵乘法,matrixPow函数实现矩阵快速幂,matrixAdd函数实现矩阵加法,printMatrix函数实现输出矩阵
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