有向图最小点基

ACM模版

有向图最小点基

参考:
《有向图强连通分支》

/*
 *  有向图最小点基(邻接阵)O(n^2)
 *  点基B满足:对于任意一个顶点Vj,一定存在B中的一个Vi,使得Vi是Vj的前代。
 *  返回点基大小和点基 传入图的大小n和邻接阵mat,不相邻点边权0 需要调用强连通分支
 *  find_components(n, mat, id);参考《有向图强连通分支》
 */
#define MAXN 100
int base_vertex(int n, int mat[][MAXN], int* sets)
{
    int ret=0, id[MAXN], v[MAXN], i, j;
    j = find_components(n, mat, id);
    for (i = 0; i < j; v[i++] = 1);
    for (i = 0; i < n; i++)
    {
        for (j = 0; j < n; j++)
        {
            if (id[i] != id[j] && mat[i][j])
            {
                v[id[j] - 1] = 0;
            }
        }
    }
    for (i = 0; i < n; i++)
    {
        if (v[id[i] - 1])
        {
            v[id[sets[ret++] = i] - 1] = 0;
        }
    }
    return ret;
}
<think>嗯,用户现在问的是原问题如果是有向图的话,该怎么处理。之前我介绍的是无向图的情况,现在需要调整到有向图的场景。首先,我得确认原来的改进Dijkstra算法是否适用于有向图。在有向图中,边的方向会影响路径的存在性,所以必须确保松弛操作能够正确覆盖所有可能的路径方向。 接下来,我需要回顾之前的证明方法,看看哪些部分会因为图的类型不同而改变。原来的核心逻辑是维护一个距离数组d[v],表示从起s到v的最小瓶颈值,使用优先队列松弛操作来更新。在有向图中,边的方向性意味着从u到v的边可能存在于一个方向,但反过来不行。因此,松弛操作应该只考虑边的方向是否正确,比如边(u,v)存在的话,只能从u到v进行松弛,而不能反过来。 然后,我需要检查原来的证明部分,特别是归纳步骤中的反证法。在无向图中,路径可能存在不同的方向,但在有向图中,路径必须遵循边的方向。所以原来的反证法假设存在路径s到u经过未处理的节v,这时候在有向图中是否还成立?需要确认是否可能构造这样的路径,或者是否需要调整证明的逻辑。 此外,用户可能关心的是算法的正确性是否依然成立,以及是否需要调整算法步骤。比如,是否同样适用优先队列处理节,松弛操作是否保持不变,或者是否需要处理入边出边的不同情况。 可能还需要举一个有向图的例来验证算法的正确性,比如是否存在环或者方向限制导致的不同路径情况。同时,需要说明负权边是否会影响结果,因为在有向图中负权边可能存在不同的影响,但根据之前的补充说明,瓶颈值关注的是大边权,符号可能不影响,但需要确认这一。 另外,用户可能想知道复杂度是否有变化,但因为算法结构松弛操作的次数与边数相关,有向图无向图在边数上的差异可能会影响实际运行时间,但时间复杂度的大O表示应该相同,仍然是O((E + V) log V)。 后,总结时需要强调算法在有向图中的适用性,指出方向性带来的变化,以及证明过程中需要调整的部分,确保用户理解在有向图环境下改进Dijkstra算法依然有效。</think>--- ### 有向图情形下的修正与证明 当问题中的图 **$G=(V,E)$ 为有向图**时,改进的Dijkstra算法仍然适用,但需要严格遵循边的方向进行松弛操作。以下是针对有向图的详细证明与说明: --- #### 关键调整 1. **边的方向性**:路径必须遵循边的方向。例如,若存在边 $u \to v$,则只能从 $u$ 访问 $v$,不能反向。 2. **松弛操作的约束**:只有当存在有向边 $e=(u,v)$ 时,才能尝试从 $u$ 松弛到 $v$。 --- ### 算法逻辑(与无向图完全一致) 1. **初始化**:$d[s] = 0$,其他节 $d[v] = \infty$,优先队列初始包含 $s$。 2. **循环弹出最小 $d[u]$**:每次弹出当前瓶颈值最小的节 $u$。 3. **松弛操作**:对每条 **从 $u$ 出发的边** $e=(u,v)$,计算候选值 $c = \max(d[u], w(e))$。若 $c < d[v]$,则更新 $d[v] = c$,并将 $v$ 加入优先队列。 --- ### 正确性证明修正 #### 核心命题不变 **命题**:算法结束时,$d[t]$ 为从 $s$ 到 $t$ 的最小瓶颈值(即路径上大边权的最小可能值)。 --- #### 证明修正(针对有向图) **部分1:不变性(Invariant)的修正** **不变性**:当节 $u$ 从优先队列中弹出时,$d[u]$ 已经等于从 $s$ 到 $u$ 的最小瓶颈值。 **证明步骤**(归纳法): - **例**:初始时,$d[s]=0$ 正确(空路径的大边权为0)。 - **归纳假设**:假设前 $k$ 个弹出的节均已正确计算最小瓶颈值。 - **归纳步骤**:考虑当前弹出的节 $u$,需证明不存在未探索的路径 $P: s \to \dots \to u$ 使得 $\beta(P) < d[u]$。 **反证法修正**: 假设存在一条更优路径 $P: s \to \dots \to v \to u$,其中 $v$ 是某个 **未被处理** 的节,且 $\beta(P) < d[u]$。 由于路径 $P$ 是有向的,必须存在边 $v \to u$。 根据路径定义: $$ \beta(P) = \max\left( \beta(s \to \dots \to v), w(v,u) \right). $$ 由于 $v$ 未被处理,优先队列中 $d[v] \geq d[u]$(因为队列按 $d$ 升序弹出)。 因此: $$ \beta(P) \geq \beta(s \to \dots \to v) \geq d[v] \geq d[u], $$ 与假设 $\beta(P) < d[u]$ 矛盾。 **结论**:$d[u]$ 已是优值。 --- **部分2:松弛操作的正确性(与无向图一致)** 对每条有向边 $u \to v$,松弛操作保证:若存在路径 $s \to \dots \to u \to v$ 的瓶颈值 $\max(d[u], w(u,v))$ 更优,则更新 $d[v]$。 --- ### 有向图示例验证 考虑以下有向图,边权非负: ``` A --(3)--> B | | (2) (1) ↓ ↓ C --(4)--> D ``` 目标: $A$ 到 $D$ 的最小瓶颈路径。 - **初始化**:$d[A]=0$,其他节 $d=\infty$,队列:$\{A(0)\}$ - **弹出A**: - 沿边 $A \to B$:$\max(0,3)=3$,更新 $d[B]=3$ - 沿边 $A \to C$:$\max(0,2)=2$,更新 $d[C]=2$ 队列:$\{C(2), B(3)\}$ - **弹出C**: - 沿边 $C \to D$:$\max(2,4)=4$,更新 $d[D]=4$ 队列:$\{B(3), D(4)\}$ - **弹出B**: - 沿边 $B \to D$:$\max(3,1)=3$,$3 < 4$,更新 $d[D]=3$ 队列:$\{D(3)\}$ - **弹出D**:算法终止。终 $d[D]=3$,对应路径 $A \to B \to D$。 **注意**:虽然存在路径 $A \to C \to D$,但其瓶颈值为4,劣于 $A \to B \to D$ 的3。算法正确选择优路径。 --- ### 关键问题解答 1. **负权边的影响**: 与无向图相同,算法允许负权边,因为瓶颈值仅关注路径上的大边权。例如,若边 $B \to D$ 权值为 $-1$,路径 $A \to B \to D$ 的瓶颈值为 $\max(3, -1)=3$,算法依然正确。 2. **复杂度分析**: 时间复杂度仍为 $O((E + V) \log V)$,与无向图相同。区别仅在于边的遍历方向。 3. **与无向图的对比**: 无向图中每条边可双向通行,有向图中边只能按方向访问。算法逻辑无需调整,但松弛操作需严格按边方向进行。 --- ### 结论 改进的Dijkstra算法可直接应用于有向图最小瓶颈路径问题。通过维护方向敏感的松弛操作,并结合优先队列的不变性保证,算法能够在 **多项式时间** 内正确解目标。证明框架与无向图一致,仅需修正路径方向的约束条件。
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