36、非线性计算、混沌现象与进化科学探索

非线性计算、混沌现象与进化科学探索

1. 洛伦兹模型的截断谱能量分析

在研究混沌理论时，洛伦兹模型的截断谱能量分析是一个重要的内容。通过对洛伦兹模型的三个方程分别乘以 (X)、(Y) 和 (Z) 并相加，我们得到：
[
\frac{1}{2}\frac{d}{d\tau}(X^{2}+Y^{2}+Z^{2})=-\sigma X^{2}+\sigma Y^{2}-bZ^{2}-bZ^{2}\gamma
]

设 (E = \frac{1}{2}(X^{2}+Y^{2}+Z^{2}))，则有以下几种情况：
- 当 (E=\text{const}) 或 (\frac{dE}{d\tau}=0) 时，由于 (b)、(\sigma)、(\gamma\neq0)，可得 (X = Y = Z = 0)，此时截断谱能量保持恒定。
- 当 (\frac{dE}{d\tau}>0) 时，截断谱能量增加，需满足 (\sigma X^{2}+\sigma Y^{2}+bZ^{2}+bZ^{2}\gamma<0)。若 (b>0)，(\sigma>0) 且 (\sigma > \gamma)，则 (Z < 0) 且 (bZ(\sigma + \gamma)>\sigma X^{2}+\sigma Y^{2}+bZ^{2}) 或 (Z>\frac{\sigma X^{2}+\sigma Y^{2}+bZ^{2}}{b(\sigma + \gamma)})。当 (Z < 0) 且满足该条件时，截断谱能量增加，反映了计算在 (Z < 0) 方向溢出的情况。
- 当 (\frac{dE}{d\tau}<0) 时