32、非线性计算与实验：挑战与启示

非线性计算与实验：挑战与启示

1. 非线性数学问题的物理意义

非线性数学问题具有独特的物理意义。从数学性质上看，非线性定量演化在有效量范围内可能经历爆发式增长，趋近于数量上的无穷大，从而脱离微积分系统的连续性。需要注意的是，现实物理空间是曲率空间，而欧几里得空间中的数量无穷大恰好对应于曲率空间的过渡点。因此，非线性问题实际上是非欧几里得空间的问题，相应的数量无穷大不应再被视为数学不适定或奇异的概念。

非线性本质上是物理旋转性的问题，这已经背离了欧几里得空间。即使作为数学方法，也不应再用现代科学的连续性数学来处理非线性问题。不能仅仅因为出现数量不稳定或奇异就认为非线性的定量计算不稳定是无意义的，也不应将非欧几里得空间的问题转化为欧几里得空间的问题。实际上，正是通过数量不稳定的奇异点，非线性在走出欧几里得空间的同时，进入了更广泛的非欧几里得空间，并以旋转的形式实现物质的演化。

经典力学之所以成为经典，是因为欧几里得空间的数学工具描述了现存（非演化）的物理现象。然而，这些数学游戏与现实存在诸多不符，非线性数学无法解决过渡性变化，从而终止了所有这些数学游戏。通过信息数字化，非线性数学已实质性地进入非惯性系统，但由于人们仍习惯于传统的惯性系统概念和线性系统的适定性，向非惯性系统的转变被延迟了。

2. 初始值误差

在实际的非线性数值计算中，必须面对初始值和/或参数存在小数有效位的情况。以小数点后一位有效数字为例，当取 (u(0) = –0.1 m/s)；(k = 1 m^{–1})；(\Delta t = 6 s) 并代入方程计算时，会发现有效数字的限制导致计算值陷入初始值误差。因为有效数字仅保留到小数点后第一位，所以小于该位的数值被视为可忽略的，