实数、序列与函数的数学证明

32、已知任意实数 x > 0，证明在 0 和 x 之间存在一个无理数。

已知 $ x > 0 $，$ \sqrt{2} $ 是无理数，则 $ \frac{\sqrt{2}}{n} $（$ n \in \mathbb{Z}^+ $）也是无理数。

由阿基米德性质，对于 $ \frac{1}{x} > 0 $ 和 $ 1 > 0 $，存在 $ n \in \mathbb{Z}^+ $ 使得
$$
n \cdot \frac{1}{x} > 1
$$
即
$$
\frac{1}{n} < x
$$

那么
$$
0 < \frac{\sqrt{2}}{n} < \sqrt{2} \cdot x
$$
当 $ n $ 足够大时，可使
$$
0 < \frac{\sqrt{2}}{n} < x
$$

所以在 $ 0 $ 和 $ x $ 之间存在一个无理数 $ \frac{\sqrt{2}}{n} $。

33、证明对于任意整数 n ≥ 1，√(n - 1) + √(n + 1) 是无理数。

下面是给定的【文本内容】的 Markdown 格式版本：

假设 $\sqrt{n - 1} + \sqrt{n + 1}$ 是有理数，设
$$
\sqrt{n - 1} + \sqrt{n + 1} = \frac{p}{q}
$$
（其中 $p, q$ 为互质的正整数）。

将等式两边平方可得：
$$
(\sqrt{n - 1} + \sqrt{n + 1})^2 = \left(\frac{p}{q}\right)^2
$$
即
$$
(n - 1) + 2\sqrt{(n - 1)(n + 1)} + (n + 1) = \frac{p^2}{q^2}
$$
化简得
$$
2n + 2\sqrt{n^2 - 1} = \frac{p^2}{q^2}
$$
进一步得到
$$
\sqrt{n^2 - 1} = \frac{p^2}{2q^2} - n
$$

因为等式右边 $\frac{p^2}{2q^2} - n$ 是有理数，而当 $n \geq 1$ 时，若 $n^2 - 1$ 不是完全平方数，$\sqrt{n^2 - 1}$ 是无理数，产生矛盾。

所以假设不成立，即
$$
\sqrt{n - 1} + \sqrt{n + 1}
$$
是无理数。

34、设{an}是一个实数序列。证明：(1) lim n→∞ inf an ≤ lim n→∞ sup an；(2) 序列{an}收敛当且仅当lim inf n→∞ an和lim sup n→∞ an存在且有限且相等，在这种情况下，lim inf n→∞ an = lim sup n→∞ an = lim n→∞ an；(3) 序列{an}发散到+∞当且仅当lim inf n→∞ an = lim sup n→∞ an = +∞；(4) 序列{an}发散到 -∞当且仅当lim inf n→∞ an = lim sup n→∞ an = -∞。

可根据以下思路进行证明：

1. 设 $\liminf_{n \to \infty} a_n = L$，$\limsup_{n \to \infty} a_n = U$。
   根据上下极限定义，对于任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N_1$ 使得 $n > N_1$ 时 $a_n > L - \varepsilon$，存在 $N_2$ 使得 $n > N_2$ 时 $a_n < U + \varepsilon$。
   取 $N = \max{N_1, N_2}$，当 $n > N$ 时，
   $$
   L - \varepsilon < a_n < U + \varepsilon
   $$
   由 $\varepsilon$ 的任意性可得 $L \leq U$，即
   $$
   \liminf_{n \to \infty} a_n \leq \limsup_{n \to \infty} a_n
   $$

2. 充分性 ：若 $\liminf_{n \to \infty} a_n = \limsup_{n \to \infty} a_n = A$（有限），
   根据上下极限定义，对于任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N_1$ 使得 $n > N_1$ 时 $a_n < A + \varepsilon$，存在 $N_2$ 使得 $n > N_2$ 时 $a_n > A - \varepsilon$。
   取 $N = \max{N_1, N_2}$，当 $n > N$ 时，
   $$
   |a_n - A| < \varepsilon
   $$
   所以 ${a_n}$ 收敛且 $\lim_{n \to \infty} a_n = A$。

必要性 ：若 ${a_n}$ 收敛于 $A$，对于任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，当 $n > N$ 时
$$
|a_n - A| < \varepsilon \quad \text{即} \quad A - \varepsilon < a_n < A + \varepsilon
$$
所以
$$
\liminf_{n \to \infty} a_n \geq A - \varepsilon, \quad \limsup_{n \to \infty} a_n \leq A + \varepsilon
$$
由 $\varepsilon$ 的任意性可得
$$
\liminf_{n \to \infty} a_n = \limsup_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} a_n = A
$$

3. 充分性 ：若 $\liminf_{n \to \infty} a_n = \limsup_{n \to \infty} a_n = +\infty$，
   根据上下极限定义，对于任意 $M > 0$，存在 $N$，当 $n > N$ 时 $a_n > M$，所以 ${a_n}$ 发散到 $+\infty$。

必要性 ：若 ${a_n}$ 发散到 $+\infty$，则对于任意 $M > 0$，存在 $N$，当 $n > N$ 时 $a_n > M$，所以
$$
\liminf_{n \to \infty} a_n \geq M, \quad \limsup_{n \to \infty} a_n \geq M
$$
由 $M$ 的任意性可得
$$
\liminf_{n \to \infty} a_n = \limsup_{n \to \infty} a_n = +\infty
$$

4. 充分性 ：若 $\liminf_{n \to \infty} a_n = \limsup_{n \to \infty} a_n = -\infty$，
   根据上下极限定义，对于任意 $M < 0$，存在 $N$，当 $n > N$ 时 $a_n < M$，所以 ${a_n}$ 发散到 $-\infty$