SLAM入门之视觉里程计(5)：单应矩阵

在之前的博文OpenCV，计算两幅图像的单应矩阵，介绍调用OpenCV中的函数，通过4对对应的点的坐标计算两个图像之间单应矩阵HH，然后调用射影变换函数，将一幅图像变换到另一幅图像的视角中。当时只是知道通过单应矩阵，能够将图像1中的像素坐标(u1,v1)(u1,v1)变换到图像2中对应的位置上(u2,v2)(u2,v2)，而没有深究其中的变换关系。

单应(Homography)是射影几何中的概念，又称为射影变换。它把一个射影平面上的点(三维齐次矢量)映射到另一个射影平面上，并且把直线映射为直线，具有保线性质。总的来说，单应是关于三维齐次矢量的一种线性变换，可以用一个3×33×3的非奇异矩阵HH表示

 

x1=Hx2x1=Hx2

这是一个齐次坐标的等式，HH乘以一个非零的比例因子上述等式仍然成立，即HH是一个3×33×3齐次矩阵，具有8个未知量。

假设已经取得了两图像之间的单应，则可单应矩阵HH可以将两幅图像关联起来

 

⎛⎝⎜u1v11⎞⎠⎟=H⎛⎝⎜u2v21⎞⎠⎟(u1v11)=H(u2v21)

其中，(u1,v1,1)T(u1,v1,1)T表示图像1中的像点，(u2,v2,1)T(u2,v2,1)T是图像2中的像点，也就是可以通过单应矩阵HH将图像2变换到图像1，如下图。这有了很多实际的应用，例如图像的校正、对齐以及在SLAM中估计两个相机间的运动。

同一相机在不同的位姿得到同一平面的图像

假设使用同一相机在不同的位姿拍摄同一平面，如下图：

上图表示场景中的平面ππ在两相机的成像，设平面ππ在第一个相机坐标系下的单位法向量为NN，其到第一个相机中心（坐标原点）的距离为dd，则平面ππ可表示为：

 

NTX1=dNTX1=d

即

1dNTX1=1,∀X1∈π1dNTX1=1,∀X1∈π

其中，X1X1是三维点PP在第一相机坐标系下的坐标，其在第二个相机坐标系下的坐标为X2X2，则

X2=RX1+TX2=RX1+T

将上面式子结合起来，

X2=RX1+T1dNTX1=(R+T1dNT)X1=H′X1X2=RX1+T1dNTX1=(R+T1dNT)X1=H′X1

所以就得到了同一平面两个不同相机坐标系的单应矩阵

H′=R+T1dNTH′=R+T1dNT

上面提到单应表示的是两个平面之间的映射，这里为何得到了同一平面两个不同相机坐标系的单应矩阵。虽然平面是通过，但是在不同坐标系中会有不同的表示，单应也是将平面从一个位置映射到另一个位置，并保持其某些性质不变，例如保线性。[image]

上面得到的单应矩阵第一个相机坐标系取得，还需要将其变换到成像平面坐标系中，取得两图像间的单应矩阵。设x1,x2x1,x2为PP在两图像的像点坐标，

 

x1=KX1,x2=KX2x1=KX1,x2=KX2

KK是相机的内参数，代入上面求得单应变换公式

K−1x2=HK−1x1⟹x2=KH′K−1x1=K(R+T1dNT)K−1x1K−1x2=HK−1x1⟹x2=KH′K−1x1=K(R+T1dNT)K−1x1

所以，同一平面得到的两个图像间的单应矩阵HH为

H=K(R+T1dNT)K−1H=K(R+T1dNT)K−1

平面的单应和对极约束的区别

两图像间的单应矩阵后，有什么作用呢？它和两幅图像间的对极约束有何区别

两图像间的对极约束和场景的结构无关，也就是说对极约束对于任意场景结构的两幅图像都是成立的，不能给出两幅图像上的像点的一一对应关系，只能给出点对应的必要条件，另一幅图像上与图像上对应的像点在位于对应的对极线上。基础矩阵FF描述的实际是一种点和直线的映射关系，而不是一种点对点的约束关系，并不能给出另一个点的确切位置。

平面间的单应，并不像对极约束完全不需要场景的结构信息，它对场景的结构有了要求：场景的点必须在同一个平面上，因此单应矩阵HH也就能够对两图像上对应点的提供更多的约束，知道了某点在一幅图像的像点位置后，可以通过单应矩阵，求得其在另一幅图像中像点的确切位置。

也就说，三维点如果不是在同一个平面上，可以使用基础矩阵FF来计算图像上像点在另一幅图像上对应的对极线，而不能使用单应矩阵HH得到对应点的确切位置。但如果在这种情况下，仍使用单应矩阵HH计算对应点的位置，其结果会如何呢，如下图

通过平面PP在两图像上的匹配点，计算得到了其两图像间的单应矩阵HH。三维点p′p′并不在平面PP上，其在图像1中的像点为x1x1，使用单应矩阵HH计算其在图像2中对应的像点。从上图可以看出，p′p′在图像2上的像点是x′2x2′，而使用单应矩阵计算得到的像点却是x2x2。

在这种情形下，使用单应矩阵HH估计图像上对应点位置，误差来自两个方面：

• 三维点p′p′和单应矩阵HH对应的平面PP之间的距离。
  从上图可知使用HH计算p′p′像点位置时，实际得到的是却是平面PP上的点pp在图像2的像点，而pp是相机1的中心O1O1和p′p′确定的直线和平面PP的交点。
• 相机2相对于相机1的平移。
  具体分析可看下一小节相机只有旋转无平移下的单应。

也就是说，在相机的平移相对于场景的深度足够小时，仍然可以使用单应矩阵HH来计算图像中匹配像点的对应位置。

该段分析多数参考Homography 知多少？

相机只有旋转无平移下的单应

当相机在只有旋转而没有平移的情况下取得同一场景的两幅图像，可以使用单应矩阵HH来描述这两图像之间的关系。

通过前面的文章知道，相机在不同位姿下取得同一场景的图像，可以使用基础矩阵FF描述两图像像点之间的约束关系。这里的不同位姿指的是相机要有旋转和平移，但如果相机之间只有旋转无平移，图像的像点之间又有怎样的约束关系呢，单应矩阵HH又和前面提到的基础矩阵FF，有何不同。

假设得到两幅图像的相机之间只有旋转，而没有平移t=(0,0,0)Tt=(0,0,0)T，有：

 

p1=KP ,p2=KRPp1=KP ,p2=KRP

其中,KK是相机的内参，p1,p2p1,p2分别是两图像的像点，PP在相机坐标系下的三维点坐标，以第一个相机的中心为坐标原点。
从上面公式可得到

P=K−1p1,p2=KRK−1p1P=K−1p1,p2=KRK−1p1

又有两个图像间的单应p2=Hp1p2=Hp1，所以就有：

H=KRK−1H=KRK−1

也就是在相机只有旋转的情况下，可像求解两图像间的单应矩阵HH，然后可从HH中分解得到相机的内参数KK，以及旋转矩阵RR。
基础矩阵F=K−Tt×RK−1F=K−Tt×RK−1（具体推导过程可参看：SLAM入门之视觉里程计(3)：两视图对极约束 基础矩阵 ），而由于相机的平移向量t=(0,0,0)Tt=(0,0,0)T，可知基础矩阵FF为零矩阵，也就是说

• 在相机只有旋转而没有平移的情况下，两视图的对极约束就不再适用，这时可以使用单应矩阵HH来描述两个图像像点的对应关系。
• 在这种情况下，两图像点的匹配不依赖于三维点的深度信息，无法使用三角法重构出三维点在世界坐标系中的三维坐标。

通过匹配的点对计算单应矩阵

两图像上的像点p1(x1,y1),p2(x2,y2)p1(x1,y1),p2(x2,y2)是一对匹配的点对，其单应矩阵为HH，则有

 

⎛⎝⎜x2y21⎞⎠⎟=⎛⎝⎜H11H21H31H12H22H32H13H23H33⎞⎠⎟⎛⎝⎜x1y11⎞⎠⎟⇔p2=Hp1(x2y21)=(H11H12H13H21H22H23H31H32H33)(x1y11)⇔p2=Hp1

将矩阵的乘法展开，即可得到

⎧⎩⎨⎪⎪x2=H11x1+H12y1+H13y2=H21x1+H22y1+H231=H31x1+H32y1+H33{x2=H11x1+H12y1+H13y2=H21x1+H22y1+H231=H31x1+H32y1+H33

方便求解，可以将上面等式变换为Ax=0Ax=0的形式，做如下变换
第一和第二个式子的左右两边同时乘以第三个式子的左右两边得到

x2(H31x1+H32y1+H33)=H11x1+H12y1+H13y2(H31x1+H32y1+H33)=H21x1+H22y1+H23x2(H31x1+H32y1+H33)=H11x1+H12y1+H13y2(H31x1+H32y1+H33)=H21x1+H22y1+H23

将式子的右边变为0

x2(H31x1+H32y1+H33)−H11x1+H12y1+H13=0y2(H31x1+H32y1+H33)−H21x1+H22y1+H23=0x2(H31x1+H32y1+H33)−H11x1+H12y1+H13=0y2(H31x1+H32y1+H33)−H21x1+H22y1+H23=0

将上面的等式改写为向量积的形式，令h=(H11,H12,H13,H21,H22,H23,H31,H32,1)Th=(H11,H12,H13,H21,H22,H23,H31,H32,1)T，单应矩阵HH是一个齐次矩阵，可以将其最后一个元素归一化为1。
则上面两个式子可以改写为

axh=0ayh=0axh=0ayh=0

其中,ax=(−x1,−y1,0,0,0,x2x1,x2y1,x2)Tax=(−x1,−y1,0,0,0,x2x1,x2y1,x2)T，ay=(0,0,0,−x1,−y1,−1,y2x1,y2y1,y2)Tay=(0,0,0,−x1,−y1,−1,y2x1,y2y1,y2)T

一对匹配的点对，可以得到上述等式，HH有8个未知量，也就说最少4对匹配的点对(任意3点不共线)，就可以求出两幅图像的单应矩阵HH。但是通常来说，图像的匹配点对要超过4对，设得到了nn对匹配的点对，可以得到如下的等式

 

Ah=0，其中A=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜aTx1aTy1aTx2aTy2⋮aTxnaTyn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟Ah=0，其中A=(ax1Tay1Tax2Tay2T⋮axnTaynT)

具体求解方法，可以参考SLAM入门之视觉里程计(4)：基础矩阵的估计，首先将图像坐标归一化，然后使用最小二乘法或者随机采样一致性(RANSAC)的方法估计得到单应矩阵HH。

在OpenCV 中也封装了各种求解单应矩阵的方法，具体的使用可以参考OpenCV，计算两幅图像的单应矩阵，通过求解两图像的单应矩阵，将图像变换到同一个视角下，然后叠加到一起。

总结

相比于两视图的基础矩阵（本质矩阵）来说，两图像的单应矩阵比较难理解一些。针对本文，总结以下几点

• 使用场景
  • 基础矩阵表示的是两视图的对极约束，和三维场景的结构无关，只依赖于相机的内参数以及外参数，需要两个相机的位置有旋转和平移
  • 单应矩阵对场景的三维结构有了更多的要求，需要场景中的点在同一个平面上； 或者是，对相机的位姿有了要求，两个相机之间只有旋转而无平移
• 约束关系
  • 基础矩阵表示的像点和另一幅图像上的对极线的映射关系，使用基础矩阵无法得到像点对应点在另一幅图像上的确切位置。
  • 单应矩阵则是点和点的映射，使用单应矩阵可以找到像点在另一幅图像上对应点的确切位置。
• 使用单应矩阵而不是基础矩阵
  • 相机只有旋转而无平移的时候，两视图的对极约束不成立，基础矩阵FF为零矩阵，这时候需要使用单应矩阵HH
  • 场景中的点都在同一个平面上，可以使用单应矩阵计算像点的匹配点。
  • 相机的平移距离相对于场景的深度较小的时候，也可以使用单应矩阵HH。