Logic Synthesis And Verification Algorithms Gary D. Hachtel & Fabio Somenzi 第四章

kocgockohgoh

于 2022-04-06 00:05:25 发布

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本文深入探讨了两层电路的逻辑综合，重点关注Prime Implicants的概念及其计算方法，包括奎因定理、表格法、迭代共识和递归计算。此外，详细介绍了Branch-and-Bound算法在选择最优SOP中的应用，以及如何处理高复杂度的布尔函数。最后，简要提及了多输出函数的优化问题。

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Chapter 4 Synthesis of Two-Level Circuits

这一章讲的是两层电路的逻辑综合，即SOP或POS

4.4 Implicants and Prime Implicants

Implicants of function f: product term x*y $\ni$ x*y $\leq$ f

Prime implicants: 最大的 implicants，不被其他implicants包含

Essential implicants: 独自拥有某些最小项(如 $xy\bar z$ )的那些prime implicants

4.4.1 Quine’s Prime Implicant Theorem

Theorem 4.4.1 奎因定理 A minimal SOP must always consist of a sum of prime implicants

也就是一个布尔函数的最小的SOP形式，一定是由prime implicants组成。这个定理是本章的理论基础。我们如果想得到一个布尔函数的最优的逻辑表达式，就要先求出所有的prime implicants，然后从中选择一些prime implicants，使得这些prime implicants的和是该布尔函数的表达式，并且cost最小。

注：一个布尔函数所有prime implicants的和一定是该布尔函数的一个逻辑表达式。但部分和未必是。

4.5.2 The Tabular Method of Computing the Prime Implicants

写成最小项的形式

表格法是利用布尔恒等式 $AB+A\bar{B} = A$ ，从上表可知 f 所有的prime implicants为

4.5.3 Iterated Consensus in General

Tabular Method的缺点是需要先写出所有最小项。如何直接从普通的SOP(sum of products)形式的 f 得到所有的prime implicants？

Complete sum: f 所有prime implicants的和，complete sum和 f 其实表达的是同一个布尔函数（真值表相等），别忘了同一个布尔函数可以有无数个等价的布尔表达式。

Consensus等式: $AB + \bar AC + BC = AB + \bar AC$ , 其中BC为consensus

定理：一个SOP是 f 的complete sum 当且仅当

1 没有一个term会包含其他的term

2 任意两个term的consensus 要么不存在，要么被其他term包含（原文也许有误，应该是不被其他term包含）

Iterated Consensus 方法

添加consensus项 $x_1x_3$

继续

删除被包含项 $x_2x_3x_4$

4.6 Recursive Computation of Prime Implicants

定理4.6.1：给定两个complete sum $F_1\ and \ F_2$ ，则如下方法可以得到 $F_1.F_2$ 的complete sum：

1 计算 $F_1.F_2$ ，利用 $x+x = x; x.x = x; x+(y.z) = (x+y).(y+z); x.(y+z) = xy + xz; x.\bar{x} = 0;$

进行化简

2 消去那些被其他的term包含的term，比如 xy+xyz = xy

上面这个定理对于POS(product of sums)形式的bool表达式来说非常好用。比如

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