Logic Synthesis And Verification Algorithms Gary D. Hachtel & Fabio Somenzi 第九章_logic synthesis and verification algorithms pdf-优快云博客

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本章节详细介绍了有限状态机（Finite Automata）及其与正则语言的关系，包括DFA的合成方法如子集构造法和确定映像法。此外，深入探讨了-L-自动机（-Regular Automata）及其在形式验证中的应用，特别是-L-语言的包含问题，以及如何通过构造积自动机进行验证。最后，通过实例展示了如何进行语言包含检查。

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Chapter 9 Finite Automata

9.1 Finite Automata and Regular Languages

这一小节的内容是有限状态机和正则语言。其实很多讲解编译器的书籍都有相关的论述，而且都比本书更加严谨和通俗易懂。没什么难度，我就不详细讲解了。只是列出几个关键点

NFA与DFA
$\epsilon$ 闭包
string与tape的区别，一个有限，一个无限
正则表达式中的运算如*,|,+..都是作用于sting not tape

9.2 DFA Synthesis

主要有三步

给定一个正则表达式(a*b)*构建一个二叉解析树
深度搜索解析树，后序访问各个节点，按照节点的操作符合并左右孩子的NFA。合并规则很简单，一看就懂。比如已知NFA a和NFA b，如何构造出NFA c = ab.
将NFA转换成DFA，两种-------子集构造法和deterministic image法

9.2.2 The Subset Construction

经典的方法，每本编译器的教材都有相关的内容。基本思路就是从NVA的起始集合 $S_0$ 开始，求出 $S_0$ 的 $\epsilon$ 闭包 $\epsilon(S_0)$ ，作为DFA的起始状态. 依次遍历输入集合，假设访问到输入x，求出 $\epsilon(S_0)$ 中每个状态遇到x后可能到达的状态集合，求这些集合的并集 $S_1$ ，继而求出 $S_1$ 的 $\epsilon$ 闭包 $\epsilon(S_1)$ . 如果 $\epsilon(S_1)$ 之前没有出现过，就把它加入DFA的状态集合，并从 $\epsilon(S_0)$ 到 $\epsilon(S_1)$ 加一条标记为x的边。这个过程持续下去，就得到DFA。可见DFA的一个状态对应了NFA的一个状态集。如果这个NFA状态集包含了NFA的接受状态，相应的DFA状态也标记为接收状态。

书中给出的子集构造法的伪代码是错的。从某个NFA状态集合闭包起，对每个输入x都做出一个DFA的状态。而不是像书中那样，对所有输入得到的状态集合再求并集。可以参考编译器领域的龙书。

9.2.3 The Deterministic Image

由于子集构造法中，DFA的状态空间是NFA状态空间的幂集，在极不走运的情况下，可能面临存储空间过大的问题。本节介绍另一种NFA转DFA的方法------The deterministic image。

可见NFA $\LARGE \tau$ 的deterministic image是一个DFA $\LARGE \tau'$ . 二者的状态集一样，但是输入集合大不相同。 $\LARGE \tau'$ 的输入集是 $\LARGE \tau$ 的输入集与状态集的笛卡尔积。假设 $\LARGE \tau$ 中有两个转换， $s\overset{x}{\rightarrow} t_1$ 和 $s \overset{x}{\rightarrow} t_2$ ，在 $\LARGE \tau'$ 中转化成另外两个变换 $s\overset{xt_1}{\rightarrow}t1$ 和 $s\overset{xt_2}{\rightarrow}t_2$ 。显然这些变换分别符合NFA和DFA的特点。

Deterministic image方法的状态空间不变，输入空间增长了|S|倍。显然小于S的幂集的数目。

9.3 $\LARGE \omega$ -Regular Automata

从本节开始，进入本章的难点。NFA和DFA通常是用来处理string的，即有限的序列。它们都需要指定一些接受或终止状态。而 $\LARGE \omega$ -自动机是处理tape，即无限的序列。其中简单的一种叫做L-automaton。

定义很复杂，但是关键点如下

没有了终止状态，但是如何判断一个tape属于该L-自动机，换句话说，如何判断一个输入tape是合法的呢。L-automaton定义了一个cycle sets------- $C^A = (C_1, ... , C_k)$ , $C_i$ 是自动机状态集合的一个子集。L-自动机判定输入合法的条件有两个，任何一个成立都行。

输入会无数次经过自动机有向图的某条边，该条边被成为recur edge。
输入无数次经过的哪些状态的集合 $S^\infty(s^x)$ 是某个 $C_i$ 的子集。由于输入是无限的tape，而L-自动机的状态是有限的，假设某个状态ss被无数次经过，说明ss必然属于某个cycle中。这就是cycle sets名字的由来。

9.4 Formal Verification with L-Automata

9.4.1 $\LARGE \omega$ -Regular Languages

主要定义了两种操作 $lim(\mathcal{L})$ 和 $\mathcal{L}^\omega$ 。需要注意 $\omega$ 和*的区别，前者用于产生tape，后者用于产生string。假设 $X=\{a,b,c\}$ ，则 $X^\omega$ 表示由a，b，c组成的所有无限长的tape的集合ÿ