区间DPawa

区间是经常遇到的DP类型。⼤致分为区间分割类型和区间合并类型。

1. 区间分割类型DP

所谓区间分割问题，是指在⻓度为n的线性序列上，分割为k部分，每个部分对应的权值不 同，问如何分割才能使总权值最⼤。

我们定义 表示⻓度为i的序列，分割为j部分所能获得的最⼤权值，这是个前i前j问题，那 么我们先考虑最后⼀个分割，即第j个分割，肯定存在⼀个分割点k，使得k+1到i构成第j部分， 获得权值和为 ，那么问题转化为前⾯⻓度为k的序列分割成j-1个部分获得的最⼤权 值。状态转移⽅程： (j-1<=k<=i)

有了⼤致的⽅程，针对每道题⽬可能会有⼩调整，随机应变即可。

例如：有m个位置，n种花盆，编号从⼩到⼤，每种花盆有a[i]个，每种花盆摆在⼀ 起，问⼀共有多少种花⽅案？机应变即可。

表示前i种花，摆在前j个位置的⽅案数。

，其中 ，即枚举第i种花盆的个数k。

也可以 表示前i个位置，摆前j种花盆的⽅案数。

只要赋值符号右边是事先计算过的，值是确定的，就可以，所以 DP数组的定义不是唯⼀的。

在这个例⼦⾥：⼀旦某个值 计算出来，后边就不会再回来改变，我们称之为⽆ 后效性，这个值是 的最优⼦结构，可以在后边阶段其他状态的计算过程中多次被引⽤。

2. 区间合并类型DP

区间合并型，我们往往⽤ 表示区间i和j的最优值，⽽为了获得这个最优值，往往需要两 个⼦区间进⾏合并得来。为了划分这两个更⼩的区间，我们则需⽤⼀个循环变量k来枚举，即 将i和j的区间划分为i到k的区间和k+1到j的区间，状态转移⽅程为：

区间合并代价

代码模板如下：

⻓度L为1的情况，就是合并之初的序列，是DP的边界

当然也可以⽤记忆化搜索来写：

在合并区间问题中，我们经常遇到环形区间合并问题，对于环形区间，我们OI⾥⾯有⼀个⾮ 常经典的做法：断环成链，适⽤范围很⼴，请务必牢记。不夸张地讲，以后遇到环的问题， 都这样处理。具体处理办法是：将环形复制⼀次展开成线性序列，然后再枚举每⼀个起点求 最优值。如下图