01背包问题变形

1. 背包必须填满

表示前i 件物品恰好装满容量j 的最大价值。 看来方程并没有改变，说明求出来的还是基础模型的结果，两者该怎么区分呢？ 实际上，若 ，表示前 个物品在空间为的情况下的最大价值为0， 基础模型的话，这样做是可以的，可以表示一件物品都不能选，所以价值为0。但现在要求必须把 装满。一件物品都不选，却想把 的容量占满，是不合法的，而不应该让其等于0就草草 了事。

所以需要做以下调整：

• 初始化 数组为-1，表示不合法。 ，表示什么都不选，在容量为 0的情况下，最大价值为0。
• 不合法的情况，是没有资格去更新其他值的。也就是如果 则不能更新 的值。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,W,w[105],v[105],f[105][105];
int main(){
    cin >> n >> W;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin >> w[i] >> v[i];
    memset(f,-1,sizeof f);
    f[0][0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=W;j++){
            f[i][j]=f[i-1][j];
            if(j>=w[i] && f[i-1][j-w[i]]!=-1)
            f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-w[i]]+v[i]);
        }
    }
    cout << f[n][W];//n个物品，体积恰好为W时，最大价值
}

2. 至少背包填满

表示选前 种物品，体积至少为 ，最小花费为 。 容量至少为 ，言外之意，容量和为 都可以。那容量枚举到哪里才是上限呢？数组也不好定义大小吧？ 当然一个解决思路是，最多枚举到 那时间复杂度和空间复杂度都会急剧增长。 01背包的特点是，每件物品有选和不选两种决策。那么 根据集合划分，可以分为：

• 全部由前物品凑出
• 也可以选择 物品，那么前 个物品需要凑出至少为 ，那么前 的贡献值范围可以是 ，在这个范围内找到最小值即可，但这个范围的最小值必定在 处，利用常识贪心证明：同样是前 种物品，需要的体积值越大，花费趋势也越大。

关键在于 可以是负数，但前 个物品不可能凑一个负数，至少是0 ，而体积值为0 时，是不需要选任何物品的，花费为0 ，也即 。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,w[105],v[105],W,f[105][105];
int main() {
	cin >> n >> W;
	for(int i=1; i<=n; i++)
		cin >> w[i] >> v[i];
	memset(f,0x3f,sizeof f);
	f[0][0]=0;
	for(int i=1; i<=n; i++) {
		for(int j=0; j<=W; j++) {
			int s=j-w[i];
			s=max(0,s); //至少为0
			f[i][j]=min(f[i-1][j],f[i-1][s]+v[i]);
		}
	}
	cout << f[n][W];//前i个物品凑V的最小花费
}