深度学习入门笔记 Day6/15 神经网络（四）

最新推荐文章于 2022-11-19 17:08:27 发布

eowyn0406

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分类专栏：深度学习入门文章标签：深度学习入门笔记

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本文围绕深度学习展开，介绍了数值微分，即求导数近似值的方法，还提到计算机实现时取值并非越小越好。阐述了梯度概念，说明其反方向是函数值下降最快方向，可通过数值微分计算。最后讲解了使用mini - bbatch数据的随机梯度下降法，以让损失函数值变小提升网络性能。

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一、什么是数值微分

数值微分就是用 $\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}$ 求 $f(x)$ 导数近似值的方法。

取 $\Delta x = 1e^{-4}$ 或其他较小的数，则函数在x点处的导数等于：

$\frac{d f(x)}{dx} = \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

用python等计算机语言实现时，要注意， $\Delta x$ 并不是越小越好，因为计算机的存储空间有限，32位单精度浮点数可表达的数字范围在-3.40E+38 ~ +3.40E+38之间。

例子： $f(x) = x^2$ ，求其在x=1处的导数

# 函数表达式
def fx(x):
    return x**2


# 数值微分求导数
# 精度较低的前向差分的数值微分
def numerical_differential(x):
    dx = 10**(-4)
    return (fx(x+dx)-fx(x))/dx


# 求x=1处导数

if __name__ == '__main__':
    x = 1
    print(numerical_differential(x))

# 输出：2.000099999999172  误差：1e-4
----------------------------------------------------
# 精度更高的中心差分的数值微分
def numerical_diff(fx, x):
    dx = 10**(-4)
    return (fx(x+dx)-fx(x-dx))/(2*dx)


if __name__ == '__main__':
    x = 1
    print(numerical_diff(fx, x))
# 输出：1.9999999999992246  误差：1e-12

结果：（ $f(x)'=2x,f(1)'=2$ ）

二、什么是梯度？如何通过数值微分计算梯度？

梯度方向的反方向是函数值下降得最快速的方向。梯度是由偏导构成的向量： $Gradient = ( \frac{\partial f }{\partial x_0}, \frac{\partial f }{\partial x_1},...,\frac{\partial f }{\partial x_n} )$ ，比如函数 $f(x_0,x_1) = x_0^2+x_1^2$ 的梯度为： $(2x_0,2x_1)$

用Matplotlib绘制上图代码为：

a = np.arange(-2, 2, 0.05)
b = np.arange(-2, 2, 0.05)
a, b = np.meshgrid(a, b)
y = function_2(a, b)

fig = plt.figure()
ax = Axes3D(fig)

ax.set_xlabel('x1', fontsize=14)
ax.set_ylabel('x2', fontsize=14)
ax.set_zlabel('y', fontsize=14)
# 具体函数方法可用 help(function) 查看，如：help(ax.plot_surface)
ax.plot_surface(a, b, y, cmap='rainbow',rcount=100, ccount= 100)

plt.show()


def function_2(a, b):
    return a**2 + b**2

用数值微分计算梯度：比如 $x =[x_0, x_1]$ ，有两个变量，那么求点 $[x_0=a,x_1=b]$ 处的梯度时，分别求出 $\frac{\partial f }{\partial x_0}, \frac{\partial f }{\partial x_1}$ 即可，其中 a,b为常量，是已知数。

那么这两个偏导数可以采用类似数值微分求导数的方式来求：

$\frac{\partial f }{\partial x_0}=\frac{f(x_0+h,x_1)-f(x_0-h,x_1)}{2h}| _{x_0=a,x_1=b}$

也就是说我们只要将numerical_diff函数稍作改变即可

def numerical_gradient(f, x):
    h = 1e-4 # 0.0001
    grad = np.zeros_like(x) # 生成和x形状相同的数组

    for idx in range(x.size):
        tmp_val = x[idx]
        # f(x+h)的计算
        x[idx] = tmp_val + h
        print("tempx = ", x)
        fxh1 = f(x)
        print("fh1 = ", fxh1)

        # f(x-h)的计算
        x[idx] = tmp_val - h
        print("tempx = ", x)
        fxh2 = f(x)
        print("fh2 = ", fxh2)

        grad[idx] = (fxh1 - fxh2) / (2*h)
        x[idx] = tmp_val # 还原值

    return grad

三、如何实现使用mini-bbatch数据的随机梯度下降法（stochastic gradient descent， SGD）？

回顾一下，神经网络的评价标准是“损失函数”，损失函数值越小表示网络的性能越好，利用随机梯度下降法可以在逐渐迭代中使“损失函数”值越来越小。损失函数一般是评价方差或者交叉熵误差函数，其变量是各层网络的权重W。

所以神经网络的损失函数E是关于权重变量W的函数，那么认为 $f(x)=E(W)$ ，每次迭代中计算出W的梯度 $\frac{\partial E}{\partial W}$ ，然后令 $W = W - \eta \frac{\partial E}{\partial W}$ ，迭代多次后可以使损失函数最小，即网络性能最优。