【BZOJ2819】Nim 博弈论+树链剖分

最新推荐文章于 2021-03-03 15:41:02 发布

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#BZOJ #博弈论 #树链剖分 #线段树

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本文介绍了Nim游戏的基本规则及其与树链剖分、线段树结合的代码实现方法。重点阐述了如何利用树链剖分与线段树解决Nim游戏中的状态判断问题，并提供了完整的C++代码实现。

又一道博弈论，先来了解一下Nim游戏~

Nim游戏：一种经典 ICG (Impartial Combinatorial Games)——两个人进行游戏，N堆石子，每回合可以取其中某一堆的任意多个，可以取完，但不可以不取。谁不能取谁输。我们可以将每一个情况根据是否有必胜策略而分为 N-position（先手必胜）和 P-position（后手必胜），对于一个局面，它是 P-position 当且仅当a₁^a₂^…^an=0。

于是，这道题的代码实现是一个树链剖分的裸题。用线段树维护区间异或和。

树链剖分部分请参看【算法杂谈_02】树链剖分

需要注意的是题目叙述中“这三个点会导致你DFS时爆栈”。

解决办法：

①不用DFS，而改为BFS（代码复杂度++）

②用栈模拟DFS（代码复杂度++）

③不要问我这是什么。我是雷锋~

#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")

④事实上，这道题根本不用考虑DFS爆系统栈！！！因为真的不会爆！！！

Nim C++代码实现：

#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define lson pos<<1
#define rson pos<<1|1
#define N 500010
int n,m,a[N];
int cnt,head[N],next[2*N],to[2*N];
int now,size[N],deep[N],fa[N],son[N],p_id[N],id_p[N],top[N];
int xort[4*N];
void add(int x,int y)
{
	to[++cnt]=y;
	next[cnt]=head[x];
	head[x]=cnt;
}
void dfs(int x,int d)
{
	size[x]=1;deep[x]=d;
	for(int y,i=head[x];i;i=next[i])
		if((y=to[i])!=fa[x])
		{
			fa[y]=x;
			dfs(y,d+1);
			if(size[y]>size[son[x]])
				son[x]=y;
			size[x]+=size[y];
		}
}
void create(int x,int d)
{
	p_id[x]=++now;id_p[now]=x;
	top[x]=d;
	if(son[x])
		create(son[x],d);
	for(int y,i=head[x];i;i=next[i])
		if((y=to[i])!=fa[x]&&y!=son[x])
			create(y,y);
}
void build(int pos,int l,int r)
{
	if(l==r){ xort[pos]=a[id_p[l]]; return; }
	int mid=(l+r)>>1;
	build(lson,l,mid);
	build(rson,mid+1,r);
	xort[pos]=xort[lson]^xort[rson];
}
void fix(int pos,int l,int r,int x,int y)
{
	if(l==x&&r==x){ xort[pos]=y; return; }
	int mid=(l+r)>>1;
	if(x<=mid)
		fix(lson,l,mid,x,y);
	else fix(rson,mid+1,r,x,y);
	xort[pos]=xort[lson]^xort[rson];
}
int query(int pos,int l,int r,int x,int y)
{
	if(x<=l&&r<=y) return xort[pos];
	int mid=(l+r)>>1;
	if(y<=mid)
		return query(lson,l,mid,x,y);
	if(x>mid)
		return query(rson,mid+1,r,x,y);
	return query(lson,l,mid,x,y)^query(rson,mid+1,r,x,y);
}
int getnim(int x,int y)
{
	int f1=top[x],f2=top[y],re=0;
	while(f1!=f2)
	{
		if(deep[f1]<deep[f2])
			swap(x,y),swap(f1,f2);
		re^=query(1,1,n,p_id[f1],p_id[x]);
		x=fa[f1];
		f1=top[x];
	}
	if(deep[x]>deep[y])
		swap(x,y);
	return re^query(1,1,n,p_id[x],p_id[y]);
}
bool getopt()
{
	char ch;
	while(!isalpha(ch=getchar()));
	return ch=='Q';
}
int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&a[i]);
	for(int x,y,i=1;i<n;i++)
		scanf("%d%d",&x,&y),
		add(x,y),add(y,x);
	dfs(1,1);
	create(1,1);
	build(1,1,n);
	cin>>m;
	for(int x,y,i=1;i<=m;i++)
	{
		bool opt=getopt();
		scanf("%d%d",&x,&y);
		if(opt)
			printf("%s",getnim(x,y)?"Yes\n":"No\n");
		else
			fix(1,1,n,p_id[x],y);
	}
	return 0;
}