【luoguP4721】分治 FFT

最新推荐文章于 2021-07-06 19:56:42 发布

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该博客介绍了一种使用分治策略和快速傅里叶变换(FFT)来解决数组计算问题的方法。通过描述如何将问题分解并计算子区间贡献，作者展示了如何处理特定的数组更新。博客中还提到，由于问题的特性，当区间大小减小时，可以直接返回结果，避免了复杂计算。作者设置了学习多项式逆元以进一步优化此类问题的计划。

description

给定长度为 $n - 1$ 的数组 $g [1], g [2], . ., g [n - 1]$ ，求 $f [0], f [1], . ., f [n - 1]$ ，其中

$f[i]=\sum_{j=1}^if[i-j]g[j]$

边界为 $f [0] = 1$ 。答案模 $998244353$ 。

analysis

一道分治 $N T T$ 板题
经历过城市规划那题的洗礼之后这题变得微不足道
考虑 $C D Q$ 分治，求出 $[l, m i d]$ 对 $[m i d + r]$ 的贡献
把 $f [l, m i d]$ 拉出来，与 $g [1 . . r - l]$ 相乘，答案数组的后 $r - m i d$ 位就是分别对 $[m i d + r]$ 的贡献
具体可以画出两个多项式在分治过程中的相乘，结合每一个 $f$ 的值就可以弄清楚
由于这个 $N T T$ 很清真所以 $l = = r$ 时就直接 $r e t u r n$ 了，当然也没有各种阶乘逆元什么的
下次学多项式求逆再来做一次这题 ~~（FLAG）~~

code

#pragma GCC optimize("O3")
#pragma G++ optimize("O3")
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define MAXN 400005
#define G 3
#define mod 998244353
#define ll long long
#define reg register ll
#define fo(i,a,b) for (reg i=a;i<=b;++i)
#define fd(i,a,b) for (reg i=a;i>=b;--i)

using namespace std;

ll f[MAXN],g[MAXN];
ll a[MAXN],b[MAXN],rev[MAXN];
ll n,m;

inline ll read()
{
	ll x=0,f=1;char ch=getchar();
	while (ch<'0' || '9'<ch){if (ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while ('0'<=ch && ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
	return x*f;
}
inline ll work(ll x)
{
	ll y=1;
	while (y<x)y<<=1;
	return y<<1;
}
inline ll pow(ll x,ll y)
{
	ll z=1;
	while (y)
	{
		if (y&1)z=z*x%mod;
		x=x*x%mod,y>>=1;
	}
	return z;
}
inline void ntt(ll a[],ll len,ll inv)
{
	ll bit=0;
	while ((1<<bit)<len)++bit;
	fo(i,0,len-1)
	{
		rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
		if (i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
	}
	for (ll mid=1;mid<len;mid*=2)
	{
		ll tmp=pow(G,(mod-1)/(mid*2));
		if (inv==-1)tmp=pow(tmp,mod-2);
		for (ll i=0;i<len;i+=mid*2)
		{
			ll omega=1;
			for (ll j=0;j<mid;++j,omega=omega*tmp%mod)
			{
				ll x=a[i+j],y=omega*a[i+j+mid]%mod;
				a[i+j]=(x+y)%mod,a[i+j+mid]=(x-y+mod)%mod;
			}
		}
	}
}
inline void CDQ(ll l,ll r)
{
	if (l==r)return;
	ll mid=(l+r)>>1;
	CDQ(l,mid);
	ll len=work(r-l+1),invv=pow(len,mod-2);
	fo(i,0,len-1)a[i]=b[i]=0;
	fo(i,1,mid-l+1)a[i]=f[l+i-1];
	fo(i,1,r-l)b[i]=g[i];
	ntt(a,len,1),ntt(b,len,1);
	fo(i,0,len-1)a[i]=(a[i]*b[i]%mod);
	ntt(a,len,-1);
	fo(i,0,len-1)a[i]=(a[i]*invv)%mod;
	fo(i,mid+1,r)(f[i]+=a[i-l+1])%=mod;
	CDQ(mid+1,r);
}
int main()
{
	freopen("CDQNTT.in","r",stdin);
	n=read(),m=work(n);
	fo(i,1,n-1)g[i]=read();
	f[1]=1,CDQ(1,m/2);
	fo(i,1,n)printf("%lld ",f[i]);
	printf("\n");
	return 0;
}