线性筛法（欧拉筛）有关

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#数论 #筛法

线性筛法，也称欧拉筛，是优化过的质数筛选算法，解决了埃拉托斯特尼筛法在大数据量下可能导致的时间复杂度过高的问题。通过避免重复计算质数的倍数，线性筛法能以O(n)的时间复杂度完成质数筛选，适用于需要高效处理质数的场景。文中提供了线性筛的实现代码。

关于筛法

埃筛（Eratosthenes筛法）人人都会

  • 思想就是质数的倍数一定不是质数

埃筛瓶颈在于时间是O(nlog22n)O(nlog22n)，数据太大会TLE
怎么办呢？

欧拉筛（线性筛法）

  • 线性筛可以做到

最低0.47元/天 解锁文章
欧拉筛法(线性筛)
亮的博客
03-02 941
前言 寻找素数是我们刚学循环的时候就会遇到的一个问题,但我们第一时间想到的便是暴力查找.判断一个素数的复杂的就是O(n),通过循环中值判断到根号n可以优化一些,不过复杂度也达不到预期.但在数论中,有更完美的方法,埃氏筛法O(nlog(logn)),欧拉筛法O(n). 埃氏筛法 思想:从2开始,将每个素数的倍数都标记成合数,用来达到筛选素数的目的. 下面给出代码: const int MAXN = ...
线性筛
贺州学院_ChenCheng
03-11 469
线性筛 Start. 线性筛它是用来筛选出1-n之内的素数，它的时间复杂接近于O（n）。 它的大致过程是：使用一个长度为 n 的bool数组，刚开始都是未被标记的，从2开始找，将所有合数标记为true（筛选掉合数），没有被标记的就是素数。 而筛选合数的核心思想就是：所有合数都将被它的最小质因子筛掉。 细节：有一个知识点，对于所有的合数，它的最小质因子是唯一的，所以每个合数都有唯一的这样的...
【算法篇-数论】线性筛法（欧拉筛法）筛 n 以内的质数
fufufu_的博客
11-19 1392
欧拉筛法
线性筛（欧拉筛）
weixin_34203832的博客
08-03 259
昨天的考试跪的一塌糊涂：第一题水过，第二题带WA的朴素，最后题忘了特判左端点全跪，分数比起预计得分整整打了个对折啊！ 步入正题：线性筛（欧拉筛） 一般的筛法（PPT里叫埃拉托斯特尼筛法，名字异常高贵）的效率是O(NlglgN)（其实很接近O(n)啊！），对于一些例如N=10000000的残暴数据会跪，于是，线性筛登场了… 1 #include <cstring> 2 u...
线性素筛 欧拉函数 区间筛素数.zip_sowoc_算法 欧拉函数 线性筛
09-24
总的来说，"线性素筛 欧拉函数 区间筛素数.zip_sowoc_算法 欧拉函数 线性筛"这个压缩包文件包含了一种高效的算法实现，该算法能够在线性时间内筛选素数，并且能快速计算欧拉函数值，适用于需要处理大量素数和欧拉...
C++实现线性筛法求欧拉函数
qq_56615615的博客
04-11 1277
题目： 代码： #include <iostream> using namespace std; const int N = 1e6 + 10; int primes[N], phi[N], cnt; bool state[N]; void get_eulers(int& n) // 线性筛法求1~n的欧拉函数 { phi[1] = 1; for(int i = 2; i <= n; i++) { if(state[
【洛谷 P3383】 【线性筛】线性筛素数 以及用线性筛求欧拉函数
Y的博客
07-19 360
【洛谷 P3383】 【线性筛】线性筛素数 题目 解题思路 一般来说常用的是埃氏筛 for (int i=2;i<=n;i++) if (!p[i]) { prm[++t]=i; for (int j=i;j<=n/i;j++) p[i*j]=1; } 就是筛到素数时，将它的倍数筛去 但是某些合数，例如12能被质数2,3筛去，这样就会重复筛了 而欧拉线性筛就很好的解决了这个问题 为了保证每个合数只被筛一次，它只会被最小
【素数判断】埃氏筛法和欧拉筛法（线性筛法）
libertye的博客
02-01 788
埃氏筛法
欧拉筛【线性筛】
qq_45817631的博客
09-01 600
欧拉筛和埃氏筛法只有一点不同就是不会重复的进行标记。 埃氏筛法：从最小的质数222开始，将每个质数的倍数标记位合数，剩余的未标记的为质数。 欧拉筛(线性筛)：在埃氏筛法基础上，将重复标记的地方取出，保证每个数只被筛一次。 埃氏筛法：O(nloglogn) const int maxn = 1e6 + 10; int vis[maxn], prime[maxn]; int cnt = 0; void isprime(){ vis[0] = vis[1] = 1; // 1 和 0 标记为合数 for(
线性筛（欧拉筛法）
aiyuneng5167的博客
03-28 203
1 void getprime(int siz){ 2 memset(isprime,1,sizeof(isprime)); 3 isprime[1]=0; 4 for(int i=2;i<=siz;i++){ 5 if(isprime[i])prime[++tot]=i; 6 for(int j...
欧拉筛(线性筛)
MrEdit的博客
10-02 226
时间复杂度：O（n） 比埃氏筛快，埃筛重复筛了许多数，如6被2筛了一次，又被3筛了一次 思路：从2开始遍历，是素数就装起来，任一合数只被：“最小质因数 × 最大因数（非自己） = 这个合数”的途径筛除，这样保证合数只被筛除一次，只有唯一的筛除途径。 如何确保是最小质因数：比如8执行完8 * 2（2是自然数中最小的质因数），如果说现在不退出循环，那么下一步8 * 3=24，则当前质因数是3，但是我们知道8的最小质因数是2（因为8%sushu[i]==0且循环为递增），那么很显然这里的3大于2，那就不满足唯一途
欧拉筛（又称线性筛）
m0_52075409的博客
12-25 496
清楚明白的博客！ 其中ola筛就是少了很多重复，必须理解if(n % primes[j])break; 是因为什么！（数学逻辑推理证明了能够减少多次重复筛选）
线性筛(欧拉筛)
RedForest!!!
12-02 1347
欧拉筛 1:关于欧拉筛 用途：线性的求区间[1,n]的所有质数 事实上，优化以后的埃氏筛已经很优秀了，一般情况下，很难通过时间复杂度区分欧拉筛和埃氏筛。 所以我们为什么需要欧拉筛 欧拉筛可以完成很多计数，比如欧拉函数 欧拉筛比较高级且常数略小一些 2:原理和过程 过程： 欧拉筛的主要思想是，用已知的质数筛掉这个质数的倍数。且需要保证对于任意一个合数，它会且只会它的最小因数筛掉 所以我们只需要枚举i = 2~n（主意1不是质数)在这个过程中维护已经发现的所有质数的集合。然后筛掉这些质数的i倍。一旦发现某个
欧拉筛 线性筛
king9666的博客
05-03 435
埃氏筛（埃拉特斯特尼筛法） int visit[maxn]; void Prime(){ mem(visit,0); //初始化都是质数 visit[0] = visit[1] = 1; //0 和 1不是质数 for (int i = 2; i <= maxn; i++) { if (!visit[i]) { //如果i是素数，让i的所有倍数都不是质数...
线性筛法和欧拉筛法
最新发布
03-14
<think>好的，我现在要解决的问题是用户关于线性筛法和欧拉筛法的区别及实现的疑问。首先，我需要回忆一下这两种筛法的基本概念和原理，然后比较它们的异同点，接着看看它们的实现方式，最后可能需要分析各自的优缺点和应用场景。 首先，线性筛法和欧拉筛法都是用来筛选素数的算法，但用户提到可能存在区别。根据已有的引用资料，比如引用[3]提到线性筛法也叫欧拉筛，是在埃氏筛法的基础上优化而来，时间复杂度为O(n)。但用户的问题中提到两者的比较，这说明可能存在一些混淆或者细节上的不同。 根据引用[2]和[3]，埃氏筛法的问题在于会重复标记合数，而线性筛法则通过确保每个合数只被其最小质因数筛除来避免重复，从而将时间复杂度降为线性。引用[4]则提到欧拉筛法与线性筛法类似，核心思想是确保每个合数只被最小质因数筛除一次。看起来这里可能存在名称上的混淆，即线性筛法和欧拉筛法可能指的是同一种算法？或者是欧拉筛法是线性筛法的一种实现，同时还能计算欧拉函数？ 需要进一步确认：是否在某些资料中，线性筛法和欧拉筛法被视为同一种算法，而在其他资料中，欧拉筛法特指结合了计算欧拉函数的筛法？或者可能用户提到的欧拉筛法其实是线性筛法的一个别称？ 查看引用[3]的标题：“狂热算法篇”提到埃氏筛与线性筛（欧拉筛），这里括号里说明线性筛即欧拉筛。引用[2]中提到欧拉筛法代码，而引用[4]则讨论了线性筛法与欧拉函数的关系，可能欧拉筛法在实现线性筛的同时，还能计算每个数的欧拉函数值？ 因此可能的区别在于，线性筛法是一种通用的算法，用于高效筛选素数，而欧拉筛法可能是在线性筛法的基础上，进一步用于计算欧拉函数，或者两者是同一算法的不同名称。需要更仔细地分析引用内容。 引用[1]中的总结提到：欧拉筛法与线性筛法类似，核心思想是确保每个合数只被其最小质因数筛除一次。这可能暗示两者是同一算法，只是名称不同。但引用[4]的标题是“线性筛法 与 欧拉函数”，其中讨论了用线性筛法计算欧拉函数的方法。因此可能欧拉筛法是指在线性筛法的过程中同时计算欧拉函数，而普通的线性筛法仅用于筛选素数？ 或者可能，欧拉筛法和线性筛法其实是同一算法的两种不同称呼，不同来源可能有不同的命名习惯。例如，有些资料称其为线性筛法，有些则称欧拉筛法，而它们的基本原理相同。这种情况下，用户的问题可能源于对名称的混淆，而实际算法并无区别。 但用户的问题明确问的是两者的区别，所以必须找到它们的不同点。根据现有引用，可能需要指出，欧拉筛法是在线性筛法的基础上，进一步扩展用于计算欧拉函数，因此它们的实现可能有所不同，特别是在处理数论函数时。 例如，引用[4]中的代码展示了如何用线性筛法来计算欧拉函数，这可能就是欧拉筛法的一个应用。也就是说，线性筛法是基础算法，而欧拉筛法可能特指在线性筛法过程中同时计算欧拉函数或其他数论函数的方法。因此，它们的核心筛选机制相同，但欧拉筛法在实现时加入了额外的步骤来计算欧拉函数。 总结可能的区别： 1. 核心算法相同，都是线性时间复杂度，确保每个合数被最小质因数筛除一次。 2. 欧拉筛法可能特指在筛法的过程中计算欧拉函数，而线性筛法一般指仅筛选素数。 3. 因此，实现上，欧拉筛法在代码中会有额外的变量或步骤来处理欧拉函数的计算，而线性筛法则仅维护素数列表和最小质因数信息。 接下来需要确认这些信息是否正确。例如，查看引用[4]中的代码，确实是在线性筛法的框架内，增加了计算欧拉函数的部分，其中phi数组保存每个数的欧拉函数值，处理质数、合数时分别计算phi值。而普通的线性筛法可能不需要这些额外的步骤。 因此，两者的区别可能在于功能扩展：线性筛法用于高效筛选素数，而欧拉筛法则在同样的筛法过程中计算欧拉函数，或者在处理时有不同的操作，但筛法机制本身是相同的。 因此，回答用户的问题时，需要说明： - 线性筛法和欧拉筛法通常指的是同一种筛法机制，确保每个合数被最小质因数筛除，时间复杂度O(n)。 - 但在某些上下文中，欧拉筛法可能特指结合了欧拉函数计算的线性筛法实现，即在筛选素数的同时计算每个数的欧拉函数值。 - 因此，区别主要在于是否扩展了功能，而基础筛法过程是一致的。 接下来需要给出两者的实现示例，比较它们的代码差异，展示欧拉筛法如何计算欧拉函数，而线性筛法仅筛选素数。 例如，线性筛法的代码可能如下： ```python def linear_sieve(n): is_prime = [True] * (n+1) primes = [] for i in range(2, n+1): if is_prime[i]: primes.append(i) for p in primes: if i * p > n: break is_prime[i*p] = False if i % p == 0: break return primes ``` 而欧拉筛法在计算欧拉函数的实现可能如下： ```python def euler_sieve(n): is_prime = [True] * (n+1) primes = [] phi = [0] * (n+1) phi[1] = 1 for i in range(2, n+1): if is_prime[i]: primes.append(i) phi[i] = i - 1 for p in primes: if i * p > n: break is_prime[i*p] = False if i % p == 0: phi[i*p] = phi[i] * p break else: phi[i*p] = phi[i] * (p - 1) return primes, phi ``` 这样，欧拉筛法在过程中维护了phi数组，用于存储每个数的欧拉函数值。这说明欧拉筛法不仅筛选素数，还能计算欧拉函数，而线性筛法则专注于素数筛选。因此，两者的区别在于功能扩展，而非基础算法机制。 综上，用户的问题需要明确：线性筛法和欧拉筛法在核心机制上是相同的，但欧拉筛法可能用于指代那些在筛的过程中计算数论函数（如欧拉函数）的实现。因此，它们的区别在于应用范围和功能，而非基础算法步骤的不同。</think>### 线性筛法 vs 欧拉筛法：算法实现与比较 #### 1. 核心思想与时间复杂度 - **线性筛法**和**欧拉筛法**的核心思想相同：确保每个合数仅被其**最小质因数**筛除一次，时间复杂度均为 $O(n)$[^1][^3]。 - 两者的区别主要体现在**功能扩展**上： - 线性筛法专注于**高效筛选素数**。 - 欧拉筛法则在筛素数的同时，可**计算数论函数**（如欧拉函数 $\varphi(n)$）[^4]。 --- #### 2. 算法实现对比 ##### 2.1 线性筛法（仅筛选素数） ```python def linear_sieve(n): is_prime = [True] * (n+1) primes = [] # 存储素数 for i in range(2, n+1): if is_prime[i]: primes.append(i) # 用当前数i与已筛出的素数相乘标记合数 for p in primes: if i * p > n: break is_prime[i * p] = False if i % p == 0: # 保证最小质因数筛除 break return primes ``` - **关键步骤**：当 `i % p == 0` 时终止内层循环，避免重复标记[^2]。 ##### 2.2 欧拉筛法（同时计算欧拉函数） ```python def euler_sieve(n): is_prime = [True] * (n+1) primes = [] # 存储素数 phi = [0] * (n+1) # 存储欧拉函数值 phi[1] = 1 for i in range(2, n+1): if is_prime[i]: primes.append(i) phi[i] = i - 1 # 素数的欧拉函数值为i-1 # 标记合数并更新phi值 for p in primes: if i * p > n: break is_prime[i * p] = False if i % p == 0: phi[i * p] = phi[i] * p # i与p不互质时的公式 break else: phi[i * p] = phi[i] * (p - 1) # i与p互质时的公式 return primes, phi ``` - **关键扩展**：根据 $i$ 与质数 $p$ 的关系，利用递推公式计算 $\varphi(i \cdot p)$[^4]。 --- #### 3. 性能与应用场景 | **特性** | 线性筛法 | 欧拉筛法 | |----------------|------------------------|--------------------------| | **主要功能** | 筛选素数 | 筛选素数 + 计算欧拉函数 | | **空间复杂度** | $O(n)$ | $O(n)$（需额外存储phi数组）| | **适用场景** | 仅需素数列表 | 需同时处理数论函数问题 | --- #### 4. 关键区别总结 1. **功能差异**： - 线性筛法仅生成素数。 - 欧拉筛法可在线性筛法框架内扩展计算**欧拉函数**或其他数论函数。 2. **实现复杂度**： - 欧拉筛法需维护额外变量（如 `phi` 数组），逻辑略复杂。 ---
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