【JZOJ3303】城市规划

description

刚刚解决完电力网络的问题, 阿狸又被领导的任务给难住了.

刚才说过, 阿狸的国家有n 个城市, 现在国家需要在某些城市对之间建立一些贸易路线, 使得整个国家的任意两个城市都直接或间接的连通.

为了省钱, 每两个城市之间最多只能有一条直接的贸易路径. 对于两个建立路线的方案, 如果存在一个城市对, 在两个方案中是否建立路线不一样, 那么这两个方案就是不同的, 否则就是相同的. 现在你需要求出一共有多少不同的方案.

好了, 这就是困扰阿狸的问题. 换句话说, 你需要求出n 个点的简单(无重边无自环)无向连通图数目.

由于这个数字可能非常大, 你只需要输出方案数mod 1004535809(479 * 2 ^21 + 1)即可.

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analysis

• 看到模数就应该知道是分治$+NTT$

• 设$f[i]表示$为$i$的答案，那么肯定是全部的方案数减去不合法的方案数

• 设$g[i]=2^{\left(\begin{array}{c}2\\ i\end{array}\right)}$，也就是一共有$\left(\begin{array}{c}2\\ i\end{array}\right)$条边，就是$2^{\left(\begin{array}{c}2\\ i\end{array}\right)}$种总方案数

• 推推可以知道$f[n]=g[n]-{\sum }_{i=1}^{n-1}\left(\begin{array}{c}i-1\\ n-1\end{array}\right)g[i]\ast f[n-i]$，拆组合数之后就是

• $f[n]=g[n]-{\sum }_{i=1}^{n-1}\frac{(n-1)!}{(i-1)!(n-i)!}\ast g[i]\ast f[n-i]$，移一下项就是

• $f[n]=g[n]-(n-1)!{\sum }_{i=1}^{n-1}\frac{g[i]}{(i-1)!}\ast \frac{f[n-i]}{(n-i)!}$

• 后面那个就是卷积了，好像可以直接套$NTT$，然而正着推是$O(n^2{\log }_{2}n)$，我也不会多项式求逆

• 于是考虑$CDQ$分治，对于$[l,r]$区间，单独求出所有$[l,mid]$对$[mid+1,r]$的贡献

• 具体就是，把已经知道具体值的$f[l..mid]$拉出来，与$g[1..r-l+1]$乘起来

• 然后两个乘起来，后者长度是前者的两倍，多出来的那一段即为分别对$[mid+1,r]$每一位的贡献

• 如果新多项式为$h$，$h$的第$i$项系数为$f,g$下标之和等于$i$的系数积之和

• 即比如$f[3]=g[3]-(\frac{g[1]}{0!}\ast \frac{f[2]}{2!}+\frac{g[2]}{1!}\ast \frac{f[1]}{1!})$，由于$f[2]$已从$f[1]$推得，于是

• 注意为了方便下面我都把$f,g$和阶乘的逆元并进$f‘,g‘$里面了，不要看漏

• $\left(\begin{array}{c}f‘[1],f‘[2],0,0\\ g‘[1],g‘[2],g‘[3],g‘[4]\\ h[1],h[2],h[3],h[4]\end{array}\right)$，那么$h[3]=f‘[1]\ast g‘[2]+f‘[2]\ast g‘[1]$，恰好等于$f[3]-g[3]$，第三位的答案就求出了

• 而$h[4]=f‘[1]\ast g‘[3]+f‘[2]\ast g‘[2]+0\ast g‘[3]$，$[1,2]$区间对第四位的贡献就为$h[4]$

• 分治到$[3,3]$区间时，这种方法同理会给第四位$f‘[3]\ast g‘[1]$贡献，于是第四位的答案也求出了

• 这样分治下去，可以知道是对的

• 当区间长度为$1$时，当前点前面的贡献都已经算完，$f$值即为$g[l]-(l-1)!\ast 贡献$

• 分治共${\log }_{2}n$层，每层搞$NTT$，复杂度即$O(n{\log }_2^{2}n)$

• 具体很难理解，可以多加思考，或者参考一下这里其实是我晚上做梦的时候想懂的

• 不过其实多项式这块我还是超蒟，还是要多做题……

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code

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#define g 3
#define mod 1004535809
#define MAXN 130000
#define MAXLEN MAXN*4
#define ll long long
#define fo(i,a,b) for (ll i=a;i<=b;++i)
#define fd(i,a,b) for (ll i=a;i>=b;--i)

using namespace std;

ll inv[MAXN+5],fac[MAXN+5],C[MAXLEN+5];
ll a[MAXLEN+5],b[MAXLEN+5],f[MAXLEN+5],rev[MAXLEN+5];
ll n,m,len,ans;

inline ll read()
{
	ll x=0,f=1;char ch=getchar();
	while (ch<'0' || '9'<ch){if (ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while ('0'<=ch && ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
	return x*f;
}
inline ll pow(ll x,ll y)
{
	ll z=1;
	while (y)
	{
		if (y&1)z=z*x%mod;
		y>>=1,x=x*x%mod;
	}
	return z;
}
inline ll work(ll x)
{
	ll y=1;
	while (y<x)y*=2;
	return y*2;
}
inline void init()
{
	fac[0]=fac[1]=1;
	fo(i,2,MAXN)fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	inv[MAXN]=pow(fac[MAXN],(ll)(mod-2))%mod;
	fd(i,MAXN,1)inv[i-1]=inv[i]*i%mod,C[i]=pow(2,i*(i-1)/2);
}
inline void ntt(ll a[],ll len,ll inv)
{
	ll bit=0;
	while ((1<<bit)<len)++bit;
	fo(i,0,len-1)
	{
		rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
		if (i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
	}
	for (ll mid=1;mid<len;mid*=2)
	{
		ll tmp=pow(g,(mod-1)/(mid*2));
		if (inv==-1)tmp=pow(tmp,mod-2);
		for (ll i=0;i<len;i+=mid*2)
		{
			ll omega=1;
			for (ll j=0;j<mid;++j,omega=omega*tmp%mod)
			{
				ll x=a[i+j],y=omega*a[i+j+mid]%mod;
				a[i+j]=(x+y)%mod,a[i+j+mid]=(x-y+mod)%mod;
			}
		}
	}
}
inline void binary_search(ll l,ll r)
{
	if (l==r)
	{
		f[l]=(C[l]-f[l]*fac[l-1]%mod+mod)%mod;
		return;
	}
	ll mid=(l+r)>>1;
	binary_search(l,mid);
	ll len=work(r-l+1),invv=pow(len,mod-2);
	fo(i,0,len-1)a[i]=b[i]=0;
	fo(i,1,mid-l+1)a[i]=f[l+i-1]*inv[l+i-2]%mod;
	fo(i,1,r-l)b[i]=C[i]*inv[i]%mod;
	ntt(a,len,1),ntt(b,len,1);
	fo(i,0,len-1)a[i]=(a[i]*b[i])%mod;
	ntt(a,len,-1);
	fo(i,0,len-1)a[i]=(a[i]*invv)%mod;
	fo(i,mid+1,r)(f[i]+=a[i-l+1])%=mod;
	binary_search(mid+1,r);	
}
int main()
{
	n=read(),init(),m=work(n);
	binary_search(1,m/2);
	printf("%lld\n",f[n]);
	return 0;
}