中国剩余定理与扩展中国剩余定理

中国剩余定理（CRT）

我好蔡啊
不学这个东东我连任意模数$NTT$都学不了

问题

中国剩余定理用于求解同余方程组

$$\{\begin{array}{r}x\equiv a_1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_1)\\ x\equiv a_2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_2)\\ ......\\ x\equiv a_k(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_k)\end{array}$$

其中$m_1,m_2,...,m_k$两两互质
求$x$的最小非负整数解

定理

令$M={\prod }_{i=1}^k{m}_i$，也就是它们的最小公倍数
设$t_i$为$\frac{M}{m_i}{t}_i\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i)$的最小非负整数解
那么有一个$x$解为 ∑ i = 1 k a i M m i t i \sum_{i=1}^ka_i{M\over m_i}t_i ∑i=1k​a