【JZOJ6388】小w的作业

最新推荐文章于 2024-07-15 12:36:07 发布
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这篇博客介绍了一种利用树状数组解决二维偏序问题的方法，具体场景是计算在特定角度下，直线斜率小于某个值的直线条数。通过二分角度并转换条件，将问题转化为寻找点的相对位置，然后利用树状数组进行快速更新和查询。在二分查找过程中，需要注意区分斜率为正和斜率为负的情况，以及计算点的左右上角点个数。

description

analysis

  • 二分一个角度，首先假设该弧度角θ∈[π2,π]\theta \in[{\pi \over 2},\pi]θ∈[2π​,π]，要找的直线斜率k∈(−∞,tan⁡θ]k\in(-∞,\tan\theta]k∈(−∞,tanθ]

  • 要找这种直线，两个点(xi,yi),(xj,yj)(x_i,y_i),(x_j,y_j)(xi​,yi​),(xj​,yj​)构成一条直线，先钦定xi≤xjx_i≤x_jxi​≤xj​

  • 直线斜率yj−yixj−xi≤tan⁡θ{ {y_j-y_i}\over{x_j-x_i}}≤\tan\thetaxj​−xi​yj​−yi​​≤tanθ，转化后变成yj−xjtan⁡θ≤yi−xitan⁡θy_j-x_j\tan\theta≤y_i-x_i\tan\theta

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【JZOJ6388 BSOJ6362】小w的作业
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小w的作业 jzoj.6388 bsoj.6362 题解
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【JZOJ6387/ BSOJ6361】小w的作业 题解。
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JZOJsenior2753.【2012东莞市选】树（tree）
路人黑的纸巾
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【JZOJ2867】Contra
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Jzoj3170只状态压缩
最新发布
07-15
### 解题思路 题目要求解决的是一个与图相关的最小覆盖问题，通常在特定条件下可以通过状态压缩动态规划（State Compression Dynamic Programming, SCDP）来高效求解。由于状态压缩的适用条件是状态维度较小（例如K≤10），因此可以利用二进制表示状态集合，从而优化计算过程。 #### 1. 状态表示 - 使用一个整数 `mask` 表示当前选择的点集，其中第 `i` 位为 `1` 表示第 `i` 个节点被选中。 - 定义 `dp[mask]` 表示在选中 `mask` 所代表的点集后，能够覆盖的节点集合。 - 可以通过预处理每个点的邻域信息（包括自身和所有直接连接的点），快速更新状态。 #### 2. 预处理邻域 对于每个节点 `u`，预先计算其邻域范围 `neighbor[u]`，即从该节点出发一步能到达的所有节点集合。这样，在后续的状态转移过程中，可以直接使用这些信息进行合并操作。 #### 3. 状态转移 - 初始化：对每个单独节点 `u`，设置初始状态 `dp[1 << u] = neighbor[u]`。 - 转移规则：对于任意两个状态 `mask1` 和 `mask2`，如果它们没有交集，则可以通过合并这两个状态得到新的状态 `mask = mask1 | mask2`，并更新对应的覆盖范围为 `dp[mask1] ∪ dp[mask2]`。 - 在所有状态生成之后，检查是否某个状态的覆盖范围等于全集（即覆盖了所有节点）。如果是，则记录此时使用的最少节点数量。 #### 4. 最优解提取 遍历所有可能的状态，找出能够覆盖整个图的最小节点数目。 --- ### 时间复杂度分析 - 状态总数为 $ O(2^K) $，其中 `K` 是关键点的数量。 - 每次状态转移需要枚举所有可能的子集组合，复杂度为 $ O(2^K \cdot K^2) $。 - 整体时间复杂度控制在可接受范围内，适用于 `K ≤ 10~20` 的情况。 --- ### 代码实现（状态压缩 DP） ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int MAXN = 25; int neighbor[MAXN]; // 每个节点的邻域 int dp[1 << 20]; // dp[mask] 表示选中的点集合为 mask 时所能覆盖的点集合 int min_nodes; // 最小覆盖点数 void solve(int n, vector<vector<int>>& graph) { // 预处理每个节点的邻域 for (int i = 0; i < n; ++i) { neighbor[i] = (1 << i); // 包括自己 for (int j : graph[i]) { neighbor[i] |= (1 << j); } } // 初始化 dp 数组 memset(dp, 0x3f, sizeof(dp)); for (int i = 0; i < n; ++i) { dp[1 << i] = neighbor[i]; } // 状态转移 for (int mask = 1; mask < (1 << n); ++mask) { if (__builtin_popcount(mask) >= min_nodes) continue; // 剪枝 for (int sub = mask & (mask - 1); sub; sub = (sub - 1) & mask) { int comp = mask ^ sub; if (comp == 0) continue; int new_mask = mask; int covered = dp[sub] | dp[comp]; if (covered == (1 << n) - 1) { min_nodes = min(min_nodes, __builtin_popcount(new_mask)); } dp[new_mask] = min(dp[new_mask], covered); } } } int main() { int n, m; cin >> n >> m; vector<vector<int>> graph(n); for (int i = 0; i < m; ++i) { int u, v; cin >> u >> v; graph[u].push_back(v); graph[v].push_back(u); // 无向图 } min_nodes = n; solve(n, graph); cout << "Minimum nodes required: " << min_nodes << endl; return 0; } ``` --- ### 优化策略 - **剪枝**：当当前状态所用节点数已经超过已知最优解时，跳过后续计算。 - **提前终止**：一旦发现某个状态覆盖了全部节点，并且节点数达到理论下限，即可提前结束程序。 - **空间优化**：可以仅保存当前轮次的状态，减少内存占用。 --- ### 总结 本题通过状态压缩动态规划的方法，将原本指数级复杂度的问题压缩到可接受范围内。结合位运算技巧和预处理机制，能够高效地完成状态转移和覆盖判断操作。 ---
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