洛谷 P2735 [USACO3.4]网 Electric Fences

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原创最新推荐文章于 2026-04-06 02:16:40 发布 279 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

【计算几何皮克定理】P2735 [USACO3.4] 网 Electric Fences|普及在本题中，格点是指横纵坐标皆为整数的点。为了圈养他的牛，Farmer John 建造了一个三角形的电网。他从原点 $(0,0)$ 牵出一根通电的电线，连接格点 $(n,m)$（$0\le n<32000,0<m<32000$），再连接格点 $(p,0)$（$p>0$），最后回到原点。牛可以在不碰到电网的情况下被放到电网内部的每一个格点上（十分瘦的牛）。如果一个格点碰到了电网，牛绝对不可以被放到该格点之上（或许 Farmer John 会有一些收获）。那么有多少头牛可以被放到农夫约翰的电网中去呢？阅读详情

题面

给出 n.m,p (n<=0，另两者大于0)三个整数，构成三角形三个顶点是 $(0, 0), (n, m), (p, 0)$ .
问有多少个格点（整点）在三角形内部，不包含边上

分析

pick定理：给定顶点坐标均是整点（或正方形格子点）的简单多边形，皮克定理说明了其面积 A 和内部格点数目 i ，边上格点数目 b满足关系 $A=i+b2−1A=i+\dfrac{b}{2} -1$

这里三角形的面积好算，边上的点也可数（下面会说到），所以 i 是好算的。

边上的整点数：
当 $(n, m)$ 的 n=0 或 n=p 时，会有一条垂直边，垂直边上的点数就是 m
对于斜边，不难发现有 gcd 的数量。
比如 $(0, 0)$ 到 $(9, 6)$ 点，中间有 $(3, 2), (6, 4)$ 点。而 $g c d (9, 6) = 3$ ，当不计一个端点时，gcd 即边上的整点数。

代码

#include <stdio.h>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<math.h>
using namespace std;
int gcd(int a, int b)
{
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}
//皮克定理: 面积A= 内部格点数i + 边上点数b/2 -1 
int main()
{
    int n, m, p;
    cin >> n >> m >> p;
    int S = m * p;//面积的平方
    int linepointnum = p;//边上点数
    if (n > 0)linepointnum += gcd(n, m);
    else linepointnum += m;
    if (n == p)linepointnum += m;
    else linepointnum += gcd(abs(n - p), m);
    cout << (S + 2 - linepointnum)/2;
    return 0;
}