洛谷 P2116 城墙

题面

给出一个n边多边形，要求构造另一个图形，使新多边形在旧多边形外部，且最近处的距离大于等于L，还要使构造的图形面积尽量小。
求新构造形状的边长
3 ≤ n ≤ 1000，1 ≤ L ≤ 1000

分析

首先要理解好题意。。。是多边形外套某图形。

很容易想到的办法是，处处与内部间隔L，这就要求了在拐角处可能会出现圆弧，经过更加细致的考虑，发现将多边形的边垂直外推L，拐角处设置圆弧即可。

但是这个问题还有两个细节：原多边形的凹凸问题，拐角处的弧长具体怎么算。

先考虑第一个问题，如果只是简单外推，发现这种外围不是最优的，红色是凹部分的外推，但是绿色才是更短的（也是最短的）。
为了避免这种凹处的外推，就消除掉原多边形的凹处，首先作原多边形的凸包，再将边进行外推。
这里的绿色，其实就是凸包外推的结果。

拐角的弧长，也就是凸包外推后连接间断点的弧，圆心是凸包的顶点

像这个，未标出的那段弧就是计入在最终长度的弧
计入长度弧长的圆心角可以发现是 180-w，每一个顶点都是这样，也就是说，最终计入的圆心角是:
$n\pi -(n-2)\pi =2\pi$，前面是因为n个顶点，后面是凸n边形的内角和

现在就发现，最终新图形的长度是由内多边形凸包的边长 + $2\pi L$构成

代码

#include <iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<string>
#include<math.h>
#include<vector>
#include<iomanip>
using namespace std;
struct point
{
	point() {}
	point(double a, double b) :x(a), y(b) {}
	double x, y;
	int dcmp(double x)//误差取等
	{
		if (abs(x) < 1e-10)return 0;else return x < 0 ? -1 : 1;
	}
	bool operator <(const point& other)//为了sort
	{
		if (dcmp(x - other.x) == 0) {//x1=x2
			if (y < other.y)return 1;
			else return 0;
		}
		else
		{
			if (x < other.x)return 1;
			else return 0;
		}
	}
	bool operator == (const point& other)//为了unique
	{
		return dcmp(x - other.x) == 0 && dcmp(y - other.y) == 0;
	}
};
struct Vect//向量
{
	double x, y;
	Vect(point& p1, point& p2) :x(p2.x - p1.x), y(p2.y - p1.y) {}//从点构造向量
	double cross(Vect other)//叉积
	{
		return x * other.y - other.x * y;
	}
};
vector<point> v;//存所有点，并进行从小到大排序
int line[1005], ptr = 0;//保存凸壳路径
void convex()//求凸壳
{
	int size = v.size();
	for (int i = 0; i < size; i++)//处理i
	{
		while (ptr > 1 && Vect(v[line[ptr - 1]], v[i]).cross(Vect(v[line[ptr - 2]], v[line[ptr - 1]])) > 0)
			//求新加入的点连线 与 原本延伸方向的叉积。根据右手定则，如果是正的，则在原本延伸方向的外侧
			ptr--;//后退，直到能与v[i] 形成凸壳
		line[ptr++] = i;//符合，入凸包（用栈结构储存）
	}
}
double dis(point& a, point& b)
{
	return sqrt((a.x - b.x) * (a.x - b.x) + (a.y - b.y) * (a.y - b.y));
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	int n, L;
	cin >> n >> L;
	double x, y;//存各个读入的点
	point temp;
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		cin >> x >> y;
		temp = point(x, y);
		v.push_back(temp);
	}
	sort(v.begin(), v.end());
	v.resize(unique(v.begin(), v.end()) - v.begin());//去重点

	double ans = 0;//记录凸壳长度
	convex();//求下凸壳
	for (int i = 1; i < ptr; i++)
	{
		ans += dis(v[line[i - 1]], v[line[i]]);
	}
	ptr = 0;
	reverse(v.begin(), v.end());
	convex();//求上凸壳
	for (int i = 1; i < ptr; i++)
	{
		ans += dis(v[line[i - 1]], v[line[i]]);
	}
	ans += 3.141592653538462643383279*2*L;
	cout << fixed << setprecision(0) << ans;
	return 0;
}