洛谷 P1742 最小圆覆盖

最新推荐文章于 2024-09-16 12:14:06 发布

engineoid

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分类专栏： # 计算几何

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本文深入探讨了如何找出包含所有给定点的最小圆，通过数学归纳法和三点共圆原理，详细介绍了算法步骤及其实现代码，适用于解决几何优化问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题面

给出N个点，让你画一个最小的包含所有点的圆。

分析

这个问题实际上是找出三个点确定的一个圆，能包含其他所有点。

与三点共圆有密切的关系，先来说三点共圆。
三点共圆有两种情况：三个点共线或不共线，共线则两个最远点构成直径，不共线则圆为三角形外接圆
重点考虑外接圆情形，班经用正弦定理是比较好找的，其实难度是找圆心，也就是用三角形三个顶点坐标来表示外心坐标。

这里代码中的三点共圆圆心计算参考了这篇文章。
其实也有其他的办法如两条线的中垂线交圆心，向量垂直过中点交圆心等，不过代码上用三角形三点坐标直接实现比较容易

下面来谈最小圆覆盖，其实用的是数学归纳法，如果已经覆盖了前 i 个点，就想办法造一个圆让其覆盖 i+1 个点。

下面考虑步骤：
1.已知 1 ~ i-1 个点已经由圆 $C_{i-1}$ 覆盖，现在欲加入第 i 个点，让它也被圆覆盖
2.如果第 i 个点已经在圆 $C_{i-1}$ 中，则下一个圆 $C_i = C_{i-1}$ ，并且回到第一步继续
3.如果不在，则需要构造新的圆包含 1 ~ i 个点，首先这个新加入的点 i 需要在圆边上（临界情况），这也就确定了圆上的一个点
4.用第一个点和第 i 个点造圆 $T_{1}$ ，这时如果有一个点 j (j<i) 不在 $T_{1}$ 内，就把它取作 $C_i$ 边上的第二个点。
5.用 i 和 j 两个点造圆 $T_2$ ，同4步，找不在圆 $T_2$ 内的点 k (k<j<i)，如果存在，那么k就是圆 $C_i$ 边上的第三个点。
6.现在 i j k 三个点都在圆 $C_i$ 上，且能证明 $C_i$ 包含了 1~i 所有点，于是用三点共圆构造 $C_i$ ，回到1继续迭代。
迭代到 $C_n$ 即结束

这看似是三层循环，其实期望复杂度 O(n) ，但为了防止数据不合适，在处理前要先打乱给的 n 个点，用 random_shuffle() 可以实现

代码

#include <iostream>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<string>
#include<math.h>
#include<iomanip>
using namespace std;
struct Point
{
	double x, y;
	Point() {}
	Point(double x,double y):x(x),y(y){}
};//存点结构体
inline double dis(Point &p1, Point &p2)//两个点之间的距离
{
	return sqrt((p1.x - p2.x) * (p1.x - p2.x) + (p1.y - p2.y) * (p1.y - p2.y));

}
inline double sqr(double x) { return x * x; }//平方
class min_circle {
private:
	Point p[100005];
	int n;
public:
	Point center;//代表每一次构造出圆的圆心
	double r;//代表每一次构造的半径
	void init(int n)
	{
		this->n = n;
		for (int i = 0; i < n; i++)cin >> p[i].x >> p[i].y;
		random_shuffle(p, p + n);//打乱，避免卡时
	}

	void circular()//构造圆序列
	{
		r = 0, center = p[0];
		for (int i = 1; i < n; i++)//尝试判定第i个点在不在圆内，如果在则进入下一个点，不在则造一个p[i]在边上的圆
			if (dis(center, p[i]) - r > 1e-8)//p[i]在之前造的圆外
			{
				r=dis(p[0],p[i])/2;//以p[0]和p[i]为直径造一个圆，找出在这个圆外的点p[j]，作为第二个在本次构造圆边上的点
				center.x = (p[0].x + p[i].x) / 2;
				center.y= (p[0].y + p[i].y) / 2;
				for (int j = 0; j < i; j++)
				{
					if (dis(center, p[j]) - r > 1e-8)//发现了这种圆外的j
					{
						r = dis(p[i], p[j]) / 2;//p[i]和p[j]是两个本轮最终构造圆边上的点，就以这两者为直径构造一个圆，尝试找在其外部的k点
						center.x = (p[i].x + p[j].x) / 2;
						center.y = (p[i].y + p[j].y) / 2;
						for (int k = 0; k < j; k++)
						{
							if (dis(center, p[k]) - r > 1e-8)//发现这样的k
							{
								center = build_circle(p[i], p[j], p[k]);//发现p[i],p[j],p[k]都在本轮构造圆边上，圆被确定了
								r = dis(center, p[i]);
							}
						}
					}
				}
			}
	}

	Point build_circle(Point a, Point b, Point c) {//三点造圆
		double a1, a2, b1, b2, c1, c2;
		Point ans;
		a1 = 2 * (b.x - a.x), b1 = 2 * (b.y - a.y),
			c1 = sqr(b.x) - sqr(a.x) + sqr(b.y) - sqr(a.y);
		a2 = 2 * (c.x - a.x), b2 = 2 * (c.y - a.y),
			c2 = sqr(c.x) - sqr(a.x) + sqr(c.y) - sqr(a.y);
		if (fabs(a1-0.0)<1e-8) {
			ans.y = c1 / b1;
			ans.x = (c2 - ans.y * b2) / a2;
		}
		else if (fabs(b1-0)<1e-8) {//因为分母上有这两者，这两种情况特判
			ans.x = c1 / a1;
			ans.y = (c2 - ans.x * a2) / b2;
		}
		else {
			ans.x = (c2 * b1 - c1 * b2) / (a2 * b1 - a1 * b2);
			ans.y = (c2 * a1 - c1 * a2) / (b2 * a1 - b1 * a2);
		}
		return ans;
	}
}MC;
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	int n;
	cin >> n;
	MC.init(n);//读入 与 随机化，打乱
	MC.circular();
	cout << fixed << setprecision(10) << MC.r << endl << MC.center.x << " " << MC.center.y;
	return 0;
}