Perfect Squares -- leetcode

最新推荐文章于 2024-10-01 18:52:56 发布

原创最新推荐文章于 2024-10-01 18:52:56 发布 · 867 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#动态规划 #平方 #dfs #bfs #遍历

面试题专栏收录该内容

251 篇文章

订阅专栏

本文探讨了如何找出组成正整数n所需的最少完全平方数的数量，提出了四种不同的算法解决方案：动态规划、BFS、DFS及数学公式，并对每种方法进行了详细解释和比较。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Given a positive integer n, find the least number of perfect square numbers (for example, 1, 4, 9, 16, ...) which sum to n.

For example, given n = 12, return 3 because 12 = 4 + 4 + 4; given n = 13, return 2 because 13 = 4 + 9.

算法一，动态规划

从1到n逐个计算。

应用递推式：

dp[i] = min(dp[i], 1+dp[i-j*j]);

即一个数是由一个平方 + 另一个数构成。 number1 = square + number2

而number2 结果已经计算过了。

在leetcode上实际执行时间为452ms。

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        vector<int> dp(n+1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for (int i=1; i<=n; i++) {
            const int up = sqrt(i);
            for (int j=1; j<=up; j++) {
                dp[i] = min(dp[i], 1+dp[i-j*j]);
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

算法二，BFS

基本模型，仍是 number1 = square + number2

即，number1, number2当作节点，而他们之间的边，则是一个平方。

即一个数，加上一个平方，从而得到另一个数。

从根结点整数0从发，进行广度优先搜索，直到节点n为止。

即，

节点0加上一系列平方，得到一下层次的各个结点。

而对下一层次的结点，重复进行上面的步骤。

此处的visited数组很重要，否则会出现内存不足。

因为实际上这是一个图，而不是单纯的树。

在leetcode上实际执行时间为164ms。

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        const int up = sqrt(n);
        vector<int> square(up);
        for (int i=1; i<=up; i++)
            square[i-1] = i*i;
        
        vector<bool> visited(n+1, false);
        queue<int> q;
        q.push(0);
        int level = 0;
        while (!q.empty()) {
            ++level;
            int size = q.size();
            while (size--) {
                auto node = q.front();
                q.pop();
                for (auto s: square) {
                    const auto child = s+node;
                    if (child == n)
                        return level;
                    else if (child < n && !visited[child]) {
                        q.push(child);
                        visited[child] = true;
                    }
                    else if (child > n)
                        break;
                }
            }
        }
        return level;
    }
};

算法三，DFS

模型同上，进行深度优先搜索。

从n从发，减去一个平方，即得到下一层的一个节点。直到找到节点0为止。

遍历所有路径，记录下最短的路径数。

1. 遍历时，使用变量level，限制递归的深度。以节省时间。

2. 先减去较大的平方，再减去较小的平方。这样，当搜索到节点0时，所用的步数（即深度），不会特别大。从而用此深度，限制后续的搜索深度。

因为我们要找的是最短路径。

反之如果从1个平方开始递减的话，会出现大量的无用搜索。比如每次只减掉1，搜索n，将第一次会达到n层。

在leetcode上，实际执行时间为212ms。

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        vector<int> nums(n+1);
        return helper(n, nums, n);
    }
    
    int helper(int n, vector<int>& nums, int level) {
        if (!n)
            return 0;
        if (nums[n])
            return nums[n];
        if (!level)
            return -1;
            
        --level;
        const int up = sqrt(n);
        int ans = n;
        int res = n;
        for (int i=up; i>=1 && res; i--) {
            res = helper(n-i*i, nums, min(ans, level));
            if (res >= 0)
                ans = min(ans, res);
        }
        nums[n] = ans + 1;
        return nums[n];
    }
};

将此写法也贴在leetcode中的一个answer中了，不知道会收获赞不。

https://leetcode.com/discuss/58056/summary-of-different-solutions-bfs-static-and-mathematics

算法四，数学公式

此此略去。难点是要懂得数学Lagrange's Four Square theorem。

代码上倒是没有什么复杂的。